Понятие подмножества

Несмотря на то, что множество есть единое целое, оно, тем не менее, состоит из различимых объектов. Поэтому можно говорить об отдельных частях множества. Например, русские являются частью множества, составляющего все население России, а множество A = {0, 2, 4, 6, 8} четных цифр является частью множества B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} всех цифр десятичной системы счисления.

В теории множеств для части множества вводится специальный термин – подмножество для указания отношения между множествами или их подмножествами – отношение включения. Если А и В множества, то говорят, что А включено в В (символически это записывается ), если каждый элемент множества A является и элементом множества B. В этом случае также говорят, что A является подмножеством множества B или, что B включает A (символически записывается ). Таким образом, символические записи или означают, что для каждого x, если , то .

Если и , то пишут и говорят, что множество A строго включено во множество B или B строго включает A .

Например: ,

Отношение включения обладает следующими основными свойствами:

– рефлексивность;

Если и , то A = B – симметричность;

если и , то – транзитивность.

Следует отметить, что нельзя смешивать отношение принадлежности, обозначаемое символом , и отношение включения, обозначаемое символами , . Символ принадлежности применяется для указания отношения между множеством и его элементами, а символы включения , – для указания отношения между множествами. Так, например, правильными будут записи: a) b) c) ; d) ;

e) .

Первая строка записей a) и b) не требует пояснений. Запись c) правильна, так как слева от символа стоит множество , но во множество оно входит как элемент. Записи d) и e) также правильны, так как символы включения и строгого включения применены к множествам соответственно. Очевидно, что запись – неправильна, так как символ здесь применен к множествам.

Среди подмножеств любого множества A особо выделяют два подмножества: пустое множество и само A. Считают, что любое множество включает, по крайней мере, два подмножества: и само A. Эти два подмножества называются несобственными подмножествами множества A. Кроме того, каждый элемент множества A может рассматриваться как некоторое его подмножество. Таким образом, если , то .

Например, если , то его подмножествами будут: , . Подмножества в отличие от подмножеств и являются собственными подмножествами множества B. Таким образом, можно записать: Множество, в котором не содержится в качестве элемента оно само, обычно называют нормальным или ординарным, в противном случае – ненормальным или экстраординарным.