Понятие множества. Способы задания множеств

Понятие множество нам встречается в различных контекстах настолько часто, что мы считаем его вполне ясным и определенным. В таких случаях говорят, что понятие является интуитивно понимаемым (слово интуиция происходит от лат. intuitio – пристально смотреть и переводится как чутье, догадка, проницательность). Поэтому, казалось бы, что понятие множества не требует какого-либо уточнения.

Однако такое положение сохранялось до тех пор, пока в математике не возникла необходимость рассмотреть это понятие более строго. Это сделал впервые немецкий математик Г. Кантор (1845 – 1918), который и является создателем теории множеств. Несмотря на относительно строгий подход к понятию множества, канторовская теория множеств считается наивной (в соответствии со «Словарем русского языка» С.И. Ожегова слово наивный употребляется в смысле простодушный, неопытный), поскольку позже обнаружилось, что в этой теории возникают противоречия, которые стали именоваться парадоксами. Некоторые из этих парадоксов мы рассмотрим в конце данного раздела.

Согласно определению Кантора, множество – это любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое. Существенным моментом данного определения является последняя его часть, т.е. то, что собрание предметов само рассматривается как один предмет.

Объекты (предметы), составляющие множество, могут быть самой различной природы: студенты учебной группы некоторого вуза, радиоэлементы и интегральные микросхемы электронного устройства, столы и стулья в аудитории и т.д. Очевидно, что, согласно приведенному определению, объекты, составляющие множество, должны обладать каким-то общим свойством и должны быть различимы. Так, например, в состав множества не могут одновременно входить столы и микросхемы, так как установить какое-то общее свойство для этих объектов довольно сложно. В то же время несколько одинаковых предметов должны считаться как один, поскольку предметы во множестве должны быть различимы.

Ввиду того, что теория множеств – дисциплина математическая, то в ней чаще всего рассматриваются числовые объекты. Поэтому мы приведем примеры наиболее важных числовых множеств, за которыми закреплены специальные обозначения:

N – множество всех натуральных чисел 1, 2, 3,…;

Z – множество целых чисел есть множество, полученное в результате добавления к множеству N новых объектов – числа нуль и отрицательных целых чисел, т.е. 0, – 1, – 2, … Говорят, что множество Z получено путем расширения множества N;

Q – множество рациональных чисел, получающееся как естественное расширение множества целых чисел путем добавления новых объектов. Такими новыми объектами являются рациональные дроби, которые могут быть представлены в виде отношения m/n взаимно простых (несократимых) натуральных чисел;

R – множество всех действительных (вещественных) чисел, получающееся дополнением множества Q иррациональными числами, т.е. числами, которые нельзя представить в виде простых дробей. Примерами иррациональных чисел являются и др., поскольку их нельзя представить в виде отношения m/n;

C – множество комплексных чисел. Дать простое пояснение получению множества комплексных чисел, как в предыдущих случаях, не удается. Укажем лишь, что один из способов построения множества C заключаетсяв расширении множества R путем присоединения к нему нового числового объекта – корня уравнения x² + 1 = 0.

Мы знаем, что комплексное число обозначается как a + bi, где a и b – действительные числа, а символ i, определяемый из условия i² = – 1, называется мнимой единицей.

Между множеством и его элементами существует простое отношение принадлежности, для обозначения которого используется символ . Так, если X некоторое множество, а x – его элемент, то пишут что читается так: «x принадлежит множеству X». Если элемент x не принадлежит множеству X, то пишут

Примеры:

Тот факт, что множество X состоит из конечного числа элементов x ₁, x ₂,…, x_n обозначается с помощью фигурных скобок при этом порядок записи элементов внутри фигурных скобок значения не имеет.

Множество может состоять из любого числа элементов: одного, двух и т.д. Более того, оказывается удобным считать множеством даже пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначают символом . Таким образом, если множество X не содержит ни одного элемента, то пишут

Два множества A и B считаются равными, т.е. A = B, если они состоят из одних и тех же элементов. В противном случае A ≠ B. При этом многократно повторяющийся элемент считается как один. Так { a, b, c } = { b, a, c } = { b, a, c, c, a }. Но { a, b, c } ≠{ a, 2, 3 }, так как эти множества состоят из разных элементов, хотя их мощности и равны. Не являются равными и множества {{ a, b }} и { a, b } так как множество {{ a, b }} состоит из одного элемента{ a, b }, который сам является множеством, а множество { a, b } состоит их двух элементов: букв a и b.

Исходя из приведенных примеров, следует, что нужно различать множество, состоящее из одного элемента, например множество { a } и сам элемент этого множества a.

Множества могут быть конечными и бесконечными. Множество является конечным, если каждому его элементу можно сопоставить некоторое конечное натуральное число. Иначе говоря, элементы конечного множества можно «пересчитать» за конечное число шагов n. Число элементов конечного множества X называют его мощностью и обозначают символом .

Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если для сравнения конечных множеств используются их мощности, то при сравнении бесконечных множеств дело обстоит несколько сложнее. В качестве «эталона» для сравнения бесконечных множеств используют простейшее бесконечное множество N всех натуральных чисел. При этом все бесконечные множества делятся на два класса: счетных и несчетных множеств.

Если бесконечное множество можно привести во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел, то такое множество называют счетным. В противном случае его называют несчетным. Например, множество квадратов целых чисел 1, 2, 4, 9,…, n² является бесконечным, но счетным, так как оно приводится во взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел путем сопоставления каждому его элементу того числа натурального ряда, квадратом которого он является.

Примером несчетного множества является множество действительных чисел интервала 0 ˂ x ≤ 1. Это утверждение сформулировано и доказано Г. Кантором в виде теоремы. Суть ее доказательства состоит в том, что действительные числа, лежащие между нулем и единицей, представляются в виде бесконечных десятичных дробей. И как бы мы не нумеровали эти действительные числа, используя все натуральные числа, всегда найдется такое действительное число из указанного интервала, которое будет пропущено. Очевидно, что несчетным будет и множество действительных чисел, лежащих в любом интервале.

Приведенный выше способ задания множества путем перечисления его элементов пригоден только в том случае, когда мощность множества не велика. В случае большого числа элементов такое задание множества становится громоздким, и совсем так нельзя задать бесконечное множество.

В таких случаях используют понятие «формы от x» или иначе высказывательной формы. Содержанием этого понятия является некоторое свойство, которое обозначают символом P, а множество X, все элементы которого обладают этим свойством, записывают одним из способов: { x | P (x)}, { x | и P (x)}, { | P (x)}. Так запись { | x > 0} означает множество всех таких целых чисел, которые обладают свойством быть больше нуля. Иначе говоря, это множество всех положительных целых чисел. Напомним, что множество Z содержит как положительные, так и отрицательные целые числа, а также число 0.

Если конечное множество состоит из большого числа элементов, то его тоже удобнее задавать не перечислением всех его элементов, а в виде «формы от x». Рассмотрим примеры задания множеств, как в виде перечисления элементов, так и в виде «формы от x».

Множество {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, заданное перечислением, в «форме от x» можно записать так: | . Множество всех четных натуральных чисел в «форме от x» можно задать в виде { x, n N | x = 2 n }. В форме перечисления это множество задать нельзя, так как тогда надо было бы перечислить бесконечное число четных чисел, что невозможно. Если же это множество записать, как это часто делают, в виде x = 2, 4,…,2 n,…, не оговаривая, какие значения принимает n, то такая запись будет некорректной, так как не ясно, какие значения принимает n. Если же для n указать значения, то мы снова приходим к «форме от x».