Понятие о верхней и нижней гранях множеств

При рассмотрении числовых множеств часто возникает необходимость установления их граничных значений. Если множество задано перечислением его элементов, то это делается без особого труда путем выделения его минимального и максимального значений. Например, для множества X = {0, 1, 2, 4, 8} min x = 0, max x = 8.

Если же множество задано в «форме от х», то указать минимальное и максимальное его значения не всегда оказывается просто, а иногда они и не существуют. Например, для множества N натуральных чисел минимальным числом является единица. А максимальное число не существует. Для множества Z целых чисел не существует ни минимума, ни максимума.

В подобных случаях используют понятия верхней и нижней граней множества (иногда говорят о верхней и нижней границах). Рассмотрим эти понятия более подробно. Пусть задано некоторое множество X действительных чисел. Число а называется его верхней гранью и обозначается sup X (от лат. supremum – наивысшее), если для любого числа х Х выполняется неравенство и, каково бы ни было число а ^ʹ < а, существует такое число х ^ʹ Х, что х ^ʹ > а ^ʹ. Число b называется нижней гранью множества Х и обозначается inf X (от лат. infimum – наинизшее), если для любого х Х выполняется неравенство и, каково бы ни было число b ^ʹ > b, существует такое х ^ʹ Х, что х ^ʹ ˂ b ^ʹ.

Для рассмотренного выше множества X ={0, 1, 2, 4, 8} очевидно, что

min X = inf X = 0, max X = sup X = 8. Однако для неограниченного сверху множества N натуральных чисел min N = inf N = 1, а max N не существует, но sup N = + . В этом и состоит различие между минимальным значением и инфимумом, а также между максимальным значением и супремумом некоторого множества Х. Если будем рассматривать множество Z, то ни минимального, ни максимального его значений не существует, но inf Z = – , а sup Z = + .

Приведенные примеры возможно не очень убедительны, так как использование символов – и + является искусственным приемом (за ними не скрывается никакого определенного числа). Если же рассматривать хорошо известные со школьной скамьи понятия отрезка и интервала (иногда употребляют термины закрытый и открытый интервалы соответственно), то обнаружим, что в этом случае наши представления о различиях между max и sup, min и inf обретут вполне реальную конкретизацию.

Например, для отрезка 1 ≤ х ≤ 3 при х R min x = inf x = 1, max x = = sup x = 3. Однако для интервала 1 ˂ х ˂ 3 при х R снова inf x = 1, а sup x = 3. Но при этом, ни min x, ни max x не существуют. Действительно в последнем примере, какие бы вещественные числа, близкие к единице или к трем, мы не задавали, всегда можно указать еще более близкие к единице или трем действительные числа. В то же врем в соответствии с приведенным выше определением верхней и нижней граней множества, числа 1 и 3 являются inf x и sup x соответственно. Таким образом, различие между экстремальными значениями (max x и min x), верхней и нижней гранями (sup x и inf x) проявляются однозначно.

Чисел, которые могут рассматриваться в качестве верхней или нижней граней множества, может быть бесконечно много. Для устранения такой неоднозначности введено понятие точной верхней и точной нижней граней множества. Под точной верхней гранью множества Х понимают такую верхнюю грань, которая не превосходит любую другую. Под точной нижней гранью множества Х, понимают такую нижнюю грань, которая не меньше любой другой грани.

Исходя из приведенных определений, символически точные верхние и нижние грани множества, если его представлять в виде последовательности действительных чисел, можно записать через верхний и нижний пределы: для конечных множеств и

для бесконечных множеств.

Однако чтобы не перегружать символикой понятия точной верхней и нижней граней пределы опускают и в качестве точной верхней и нижней граней принимают соответственно sup X и inf X.

Наконец, следует отметить, что всякое непустое множество действительных чисел имеет, и притом единственную, верхнюю и нижнюю конечную или бесконечную грани.