![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Над множествами можно выполнять определенные операции, подобные в некотором отношении операциям над действительными числами в алгебре. Поэтому можно говорить об алгебре множеств.
Объединением (соединением) множеств А и В называется множество (символически оно обозначается через ), состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. В форме от х объединение множеств записывается так
Запись читается: «объединение А и В» или «А, объединенное с В».
Операции над множествами наглядно изображают графически с помощью кругов Эйлера (иногда используют термин «диаграммы Венна-Эйлера»). Если все элементы множества А будут сосредоточены в пределах круга А, а элементы множества В – в пределах круга В, тооперацию объединения с помощью кругов Эйлера можно представить в следующем виде – рис. 2.1
Рис. 2.1. Объединение множеств А и В
Пример 1. Объединением множества А = {0, 2, 4, 6, 8} четных цифр и множества В = {1, 3, 5, 7, 9} нечетных цифр является множество = ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} всех цифр десятичной системы счисления.
Пример 2. Если A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, то = {1, 2, 3, 4}.
Пример 3. Объединением множеств А = {1} и B = {0, 1} решений квадратных уравнений х 2 + 2 х + 1 = 0 и х 2 + х = 0 является множество = {0, 1}.
В общем случае в операции объединения может участвовать n множеств А 1, А 2, …, А n. Тогда объединением этих множеств (обозначается через или
), будет множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А 1, А 2,..., Аn.
Пример 4. Пусть А 1 = {3,6,9}, A 2 = {0,1,5,7}, A 3= {2,3,4,5,8}, тогда .
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество (обозначается через , иногда А × В или АВ), состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств А и В.
В форме от х пересечение множеств записывается так
.
Запись читается «пересечение А и В» или «А, пересеченное с В». С помощью кругов Эйлера операцию пересечения двух множеств А и В можно представить так – рис. 2.2 а (затемненная часть кругов)
а б
Рис. 2.2. Пересечение множеств А и В
Если =Æ, то есть если множества А и В не имеют общих элементов, то такие множества называют непересекающимися – рис. 2.2 б.
Аналогично операции объединения в пересечении может участвовать n множеств А 1, А 2, …, А n. Тогда пересечением этих множеств (обозначается через или
), будет множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем множествам А 1, А 2,..., Аn.
Пример 5. Пусть А 1 = {1, 2, 3, 4, 8}, A 2 = {2, 3, 4, 5, 8}, A 3= {3, 6, 7,8, 9}, тогда
Разностью множеств А и В называется множество (обозначается А \ В или А – В), состоящее из всех тех элементов множества А, которые не являются элементами множества В. В «форме от х» разность множеств А и В можно записать так
.
Выражение А \ В читается: «разность А и В» или «А без В».
Разность множеств в отличие от предыдущих операций определяется только для двух множеств.
С помощью кругов Эйлера для множеств А и В разности А \ В и В\А в виде затемненных частей кругов приведены соответственно на рис. 2.3 а, и 2.3 б
а б
Рис. 2.3. Разности множеств А \ В и В\А
Пример 6. Пусть А = {0, 2, 4, 6, 8} – множество всех четных цифр, В = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество всех цифр десятичной системы счисления. Тогда В\А = {1, 3, 5, 7, 9} всех нечетных цифр является разностью множеств В и А.
Пример 7. Пусть A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5}, C = {5, 6, 7}. Тогда А \ В = = {2, 4}, А \ С = {1, 2, 3, 4} = A, C \ A = {5, 6, 7} = C, В\С = {1, 3}, C \ В = {6, 7}, В\А = {5}.
Для случая, когда определяют операцию дополнения множества А до множества В.
Дополнением множества А до множества В называется множество, всех тех элементов множества В, которые не принадлежат множеству А. С помощью кругов Эйлера множество-дополнение в затемненном виде представлено на рис. 2.4
Рис. 2.4. Подмножество В\A – дополнение множества А до множества В
Символически операция дополнения записывается также как и операция разности, поэтому в «форме от х»запись дополнения будет иметь вид
.
Если в процессе некоторого рассуждения все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого множества U, то это множество называют универсальным множеством (или для краткости – универсумом). Рассуждение может быть не только кратким, но и представлять научную теорию или целую книгу. Например, при проведении социологических исследований в качестве универсума могут рассматриваться все города России или все студенты некоторого вуза. В первом случае все рассуждения не могут выходить за рамки всех городов, а во втором – за рамки всех студентов этого вуза.
Для графической иллюстрации отношений между подмножествами какого-либо ограниченного универсального множества U круги Эйлера, отображающие подмножества множества U, ограничивают прямоугольником – рис. 2.5
Рис. 2.5. Универсальное множество U и его подмножества A и B
Ясно, что если в некотором рассуждении универсальное множество будет неограниченным, например множество N или Z,то ограничить его
прямоугольником не представляется возможным.
Если в рассуждениях участвуют универсальное множество U и некоторое подмножество A, то подмножество
всех тех элементов множества U, которые не принадлежат подмножеству А, называется абсолютным дополнением подмножества А до множества U. Ясно, что
Тогда приведенное выше определение дополнения множества A до множества B называют относительным.
Кроме приведенных операций над множествами рассматривают еще две – операцию симметрической разности и операцию сложения множеств. Симметрической разностью (обозначается ) называется множество, определяемое следующим образом:
=
.
С помощью кругов Эйлера симметрическая разность множества А (левый полный круг)и множества В (правый полный круг)на рис. 2.6 будет представлять затемненную часть
Рис. 2.6. Симметрическая разность множеств А и В
Суммой множеств А и В (обозначается А + В) называется множество, определяемое выражением
А + В = ()\
.
Исходя из приведенной записи для операции сложения, можно сказать, что сумма множеств равна их объединению без пересечения.
Симметрическая разность множеств А и В и их сумма представляют одно и то же множество. Покажем это, используя круги Эйлера.
По определению разность множеств А и В или относительное дополнение А \ В являются подмножеством, изображенным на рис. 2.7 а (на рис. 2.3 а это левая затемненная часть круга Эйлера). Разность множеств В и А или относительное дополнение В\A является подмножеством, изображенным на рис. 2.7 б (на рис. 2.3 б это правая затемненная часть круга Эйлера)
а б
Рис. 2.7. Подмножества А \ В и В\А
Объединяя эти подмножества, мы получаем фигуру, приведенную на рис. 2.6, которая представляет по определению симметрическую разность множеств А и В, т.е. .
С другой стороны, если мы объединим множества А и В, то получим правую фигуру, т.е. , представленную на рис. 2.1. Если из этой фигуры вычтем пересечение этих множеств, т.е.
, представленное на рис. 2.2 а, то снова получим фигуру, изображенную на рис. 2.6. Но это и есть объединение множеств А и В без их пересечения, т.е. сумма А + В.
Таким образом, мы доказали с помощью кругов Эйлера, что
= А + В.
Рассмотрим примеры выполнения операций вычитания, дополнения, сложения и симметрической разности для различных случаев задания множеств.
Пример 8. Пусть заданы множества: А = {2, 3}; B = {1, 2, 3, 4, 5}; C = = {1, 2, 3}; D = {3, 4, 5}. Тогда
А \ В = Æ; А \ С = Æ; А \ D = {2}; A \ A = Æ;
B \ A = {1, 4, 5}; B \ C = {4, 5}; B \ D = {1, 2};
C \ A = {1}; C \ B = Æ; C \ D = {1, 2};
D \ A = {4, 5}; D \ B = Æ; D \ C = {4, 5}.
А + В ={1, 2, 3, 4, 5}\{2, 3}={1, 4, 5}; B + A ={1, 2, 3, 4, 5}\{2, 3}={1, 4, 5}.
= Æ
{1, 4, 5}= {1, 4, 5};
= {1, 4, 5}
Æ ={1, 4, 5}.
A + C = {1, 2, 3}\{2, 3} = {1}; C + A = {1, 2, 3}\{2, 3} = {1}.
= Æ
{1};
= {1}
Æ = {1}.
A + D = {2, 3, 4, 5}\{3} = {2, 4, 5}; D + A= {2, 3, 4, 5}\{3} = {2, 4, 5}.
= {2}
{4, 5} = {2, 4, 5};
= {4, 5}
{2} = {2, 4, 5}.
B + C = {1, 2, 3, 4, 5}\{1, 2, 3} = {4, 5}; C + B = {4, 5}.
= {4, 5}
Æ = {4, 5};
= {4, 5}.
В + D = {1, 2, 3, 4, 5}\{3, 4, 5} = {1, 2}; D + B = {1, 2}.
= {1, 2}
Æ = {1, 2};
= {1, 2}.
C + D = {1, 2, 3, 4, 5}\{3} = {1, 2, 4, 5}; D + C = {1, 2, 4, 5}.
= {1, 2}
{4, 5} = {1, 2, 4, 5};
= {1, 2, 4, 5}.
Из приведенных примеров видно, что операции сложения и симметрической разности эквивалентны и обладают свойством коммутативности.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 3682 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!