![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Частные производные функции нескольких переменных
Пусть М(х1, х2,..., хm) внутренняя точка области определения функции u=f(x1,..., xm). Пусть xk - приращение k-ой координаты в данной фиксированной т.М, ему соответствует частное приращение функции
xku
f(x1,..., xk-1, xk +
xk, xk+1,..., xm) - f(x1,..., xm).
Рассмотрим отношение , которое зависит от
xk и определено при всех достаточно малых
xk, отличных от нуля.
Определение 1. Если существует , то он называется частной производной функции u=f(x1,..., xm) в т. М(x1,..., xm) по аргументу xk и обозначается одним из символов:
. Таким образом,
.
Замечание. Так как изменяется только xk + xk, т.е. k-я координата аргумента функции f, то частная производная
является обыкновенной производной функции f как функции только k-й переменной (при фиксированных остальных переменных). Это позволяет вычислить частные производные по одной из переменных по обычным формулам дифференцирования, если зафиксировать все остальные переменные.
Пример 1. u = x2 + 3xy - y
вычисляем при условии, что y = const
вычисляем при условии, что x = const
Пример 2.
(при фиксированном у применима обычная теорема о производной сложной функции)
Аналогично
Выясним теперь, насколько полную информацию дают частные производные функции в данной точке о поведении функции в окрестности этой точки.
Сразу отметим, что частные производные в т.М0 могут дать информацию о поведении функции только на прямых, проходящих через т.М0 и параллельных координатным осям.
Конечно, этой информации совсем не достаточно, чтобы судить о поведении функции в целой окрестности т.М0 (и, в частности, на других лучах, проходящих через т.М0).
Пример 3. Функции показывает, что частные производные ее
(аналогично )
существуют и обращаются в нуль не только в т. (0,0), но и всюду на координатных осях, а сама функция не имеет в т. (0,0) предела (см. тему 4). Заметим, что в одномерном случае из существования производной следовала непрерывность функции.
Таким образом, мы приходим к необходимости ввести более сильное условие, чем существование частных производных, чтобы оно было аналогом дифференцируемости функции одной переменной. Это условие должно быть связано с полным приращением функции в точке.
Градиент
Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат
,
,
называется векторная функция с компонентами
,
,
.
Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :
Если — функция
переменных
, то её градиентом называется
-мерный вектор
компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.
Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.
Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или
) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто "градиентом".
Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения
дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена
, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения
при смещении на
. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:
Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку
— это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:
или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,
(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 405 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!