Ответ №22

Частные производные функции нескольких переменных

Пусть М(х₁, х₂,..., х_m) внутренняя точка области определения функции u=f(x₁,..., x_m). Пусть x_k - приращение k-ой координаты в данной фиксированной т.М, ему соответствует частное приращение функции

x_ku f(x₁,..., x_k-1, x_k + x_k, x_k+1,..., x_m) - f(x₁,..., x_m).

Рассмотрим отношение , которое зависит от x_k и определено при всех достаточно малых x_k, отличных от нуля.

Определение 1. Если существует , то он называется частной производной функции u=f(x₁,..., x_m) в т. М(x₁,..., x_m) по аргументу x_k и обозначается одним из символов: . Таким образом, .

Замечание. Так как изменяется только x_k + x_k, т.е. k-я координата аргумента функции f, то частная производная является обыкновенной производной функции f как функции только k-й переменной (при фиксированных остальных переменных). Это позволяет вычислить частные производные по одной из переменных по обычным формулам дифференцирования, если зафиксировать все остальные переменные.

Пример 1. u = x² + 3xy - y

вычисляем при условии, что y = const

вычисляем при условии, что x = const

Пример 2.

(при фиксированном у применима обычная теорема о производной сложной функции)

Аналогично

Выясним теперь, насколько полную информацию дают частные производные функции в данной точке о поведении функции в окрестности этой точки.

Сразу отметим, что частные производные в т.М₀ могут дать информацию о поведении функции только на прямых, проходящих через т.М₀ и параллельных координатным осям.

Конечно, этой информации совсем не достаточно, чтобы судить о поведении функции в целой окрестности т.М₀ (и, в частности, на других лучах, проходящих через т.М₀).

Пример 3. Функции показывает, что частные производные ее

(аналогично )

существуют и обращаются в нуль не только в т. (0,0), но и всюду на координатных осях, а сама функция не имеет в т. (0,0) предела (см. тему 4). Заметим, что в одномерном случае из существования производной следовала непрерывность функции.

Таким образом, мы приходим к необходимости ввести более сильное условие, чем существование частных производных, чтобы оно было аналогом дифференцируемости функции одной переменной. Это условие должно быть связано с полным приращением функции в точке.

Градиент

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами

, , .

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.

Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или ) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто "градиентом".

Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения при смещении на . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.