Некоторые специальные тензоры и некоторые полезные формулы

Символ Кронекера

Символ Леви - Чивита 0, если среди есть пара равных индексов

+1, если четная перестановка

-1, если четная перестановка

Инвариантность тензорных уравнений

Закон преобразования тензоров при изменении системы координат связан с понятием инвариантности уравнений относительно координат.

Под инвариантностью уравнения обычно понимается неизменяемость его вида при переходе от одной СК к другой.

Преобразование координат сопровождается преобразованием функций по закону, вполне определенному для каждой функции: для скалярной функции один закон, для векторной – другой и т.д.

Инвариантность уравнений, описывающих тот или иной физический закон, является их непременным свойством, ибо закон должен иметь одну и ту же формулировку в любой СК вследствие однородности и изотропности реального пространства.

Для инвариантности уравнений необходимо, чтобы все тензоры, которые входят в виде слагаемых в это уравнение были тензорами одного ранга.

Вектор не может быть сложен со скаляром, тензор 2-го ранга с вектором и т.п.

Это положение имеет такой же универсальный характер, как и положение об одинаковой размерности слагаемых в уравнениях.

Преобразование составляющих индексных объектов при переходе из одной СК в другую

Индексные объекты могут быть инвариантны но сами их значения меняются при переходе из одной СК в другую.

преобразование компонент, это подетерминантное преобразование

- K раз ковариантный тензор

- К раз контрвариантный тензор

- 2 раза ковариантный и 1 раз контрвариантный тензор

Лекция №3