Свойство симметрии тензоров

Тензор называется симметричным, если компоненты, получающиеся при перестановке индексов, совпадают.

Тензор называется антисимметричным, если при этом меняется знак.

Свойства симметрии и антисимметрии не зависят от СК.

Любой тензор может быть представлен в виде симметричного и антисимметричного тензоров.

Единичный тензор. Метрический тензор.

Известный из алгебры символ Кронекера является тензором 2-го ранга

- единичный тензор

Метрический тензор является обобщением единичного тензора .

Квадрат линейного элемента в декартовой СК может быть записан так:

,

а в произвольной СК: .

- косинус углов между осями какой-то координатной системы.

В случае введения произвольных базисов, определяющих системы обобщенных координат, компоненты метрического тензора определяются через всевозможные произведения векторов основного и взаимного базисов одной и той же СК.

Ковекторы, линейные операторы, билинейные формы – были искусственно построенными тензорами. Однако есть некоторое количество тензоров естественного происхождения.

Мы можем измерять расстояния между точками, и углы между двумя направлениями. По этому для и мы определим скалярное произведение:

Свойства скалярного произведения:

1.

2.

3.

4.

Свойства совпадают со свойствами квадратичной формы.

Рассмотрим и в виде:

Тогда

- матрица Грама – метрический тензор типа (0,2). Он описывает не только скалярное произведение, но и всю геометрию нашего пространства.