Билинейные и квадратичные формы

Рассмотрим ещё один тип тензорных объектов

1) ,

2) ,

Геометрический объект а_ij называется билинейной формой.

Рассмотрим её действия на векторы x, y:

не зависит от базиса,

т.е. скалярная функция двух векторных аргументов.

Скалярное произведение тоже билинейная функция двух аргументов, но там они имеют различную природу и мы не можем их переставить, а здесь можем b(x,y) = a(y,x), a = b^T.

b^ij – двойственная билинейная форма.

Если а(x,y) = a(y,x), то а – симметричная билинейная форма;

a(x,x) = f(x) – квадратичная форма.

11. Векторы, ковекторы, линейные операторы, билинейные формы – примеры тензоров. Они являются геометрическими объектами, которые представляются в числовой форме, после того как выбран базис в пространстве. Векторы, Ковекторы – одномерные массивы; линейные операторы и квадратичные формы – двумерные массивы. Кроме количества индексов имеет значение – их разложение. Координаты вектора нумеруются верхним индексом, который называется контрвариантным. Координаты ковектора нумеруются нижним индексом, который называется ковариантным.

В матрицах билинейной формы индексы нижние, поэтому она дважды ковариантная. Линейные операторы – тензора смешанного вида.

Число индексов и их положение определяют правила преобразования, т.е. то, как компоненты векторов будут себя вести при смене базиса.

В общем случае любой тензор представляет собой многомерный массив с определённым числом верхних и нижних индексов:

- тензор валентности (r,s), r -раз контрвариантный и s -раз ковариантный, для которого справедлива формула преобразования:

Лекция №2

Операции над индексными объектами

1. Сложение -под сложением понимается такая операция, когда алгебраически складываются одноименные составляющие двух разных объектов одинакового типа.

2. Умножение – под умножением понимается такая операция, когда каждый элемент 1-го сомножителя умножается на каждый элемент 2-го сомножителя.

Пусть мы имеем тензор X типа (r,s) и второй Y(p,q) то можно записать следующее выражение:

получаем , что обозначается .

Векторное произведение обозначается

Т.е.

При умножении валентность произведения равна валентностей сомножителей.

т.е.

Для векторов:

т.е.

строка умножается на столбец

3. Свертывание тензоров

Свертыванием называется суммирование компонент тензора по двум каким-либо индексам.

Свертывание можно проводить над тензорами, ранг которых не менее двух.

Пусть образуют тензор 3-го ранга.

Тогда: - тензор 1-го ранга

При свертывании по двум индексам тензора ранга n получается тензор ранга n-2.

Операция свертывания может применяться к тензору пока его ранг n>2.

Тензор четного ранга может быть свернут до скаляра; тензор нечетного ранга-до вектора.

Умножение тензоров с последующим свертыванием по индексам, относящимся к различным множителям, называется скалярным или внутренним произведением тензоров.