Криволинейные координаты

Положение точки в пространстве определяется ее радиус-вектором r и точкой О – началом координат. Таким образом в 3х мерном пространстве точка задается с помощью 3х чисел.

Можно условиться и числа определять как расстояния до 3х взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через точку О.

Если положение определять координатой по оси z, расстоянием от точки до оси R и углом поворота φ от фиксированной полуплоскости, то получится цилиндрическая система координат z, R, φ.

Если одну из координат qⁱ положить=const, то полученное множество точек принадлежит какому-то семейству поверхностей. Через каждую точку пространства проходит одна и только одна поверхность из семейства. Тогда положение однозначно определяется пересечением этих 3х поверхностей. Поверхности носят название координатных, а величины q¹, q², q³ – криволинейных (обобщенных) координат.

Прямоугольная система координат – координатные поверхности 3и взаимно перпендикулярные плоскости.

Цилиндрическая система координат – цилиндр, плоскость перпендикулярна оси z, φ=const – полуплоскость.

Сферическая система координат R, θ, φ – сфера R, конус с углом θ, полуплоскость φ.

Пресечение 2х поверхностей дает линию. На линии значения 2х координат постоянны, а 3я меняется. Эти линии называются координатными линиями.

Положительное направление – это направление в котором перемещается точка при увеличении qⁱ.

Направление координатных линий определяют при помощи координатного базиса e_1, e₂, e₃. Векторы этого базиса касательны к соответствующим координатным линиям. Направлены в сторону возрастания соответствующих координат. Этот базис называется локальным – местным базисом. В общем случае векторы базиса не перпендикулярны и не являются ортами׀ e׀ ≠ 1.

Касательные к координатным линиям называются координатными осями криволинейной системы координат.

В декартовой системе координат базисные векторы совпадают для всех точек пространства, для остальных различны для различных точек пространства.

В ортогональных системах координат касательные к координатным линиям в каждой точке пересекаются под прямыми углами.

Цилиндрическая и сферическая системы координат являются ортоганальными.

Основной характеристикой любой обобщенной системы координат является ее метрика, т. е. выражение квадрата элементарной дуги.

dS² = g_ik dqⁱ dq^k

Здесь g_ik = е_i e_k – компоненты метрического тензора.

При помощи компонент метрического тензора можно определить основные элементы пространства, заданного системой координат (q¹, q², q³).