Евклидово пространство

Наше геометрическое пространство формируется точками. Свойства Е описаны Евклидом и сформулированы в 5 группах аксиом:

1) Аксиомы инциндентности;

2) Аксиомы порядка;

3) Аксиомы конгруэнтности;

4) Аксиомы непрерывности;

5) Аксиомы параллельности.

Если в Евклидовом пространстве выделить одну из точек, обозначив её О и рассмотреть векторное пространство V_о, составленное из векторов смещения, тогда каждая точка В Е может однозначно идентифицировать с вектором смещения r_B = – радиус-вектор т. В. Переходя от точек к радиус-векторам, мы идентифицируем Е с линейным векторным пространством V_о. Такая идентификация – удобный инструмент в изучении Е без обращения к аксиомам Евклида.

3. Базис – всякая некомпланарная упорядочная тройка векторов е₁ е₂ е₃. Различают ортонормированный базис (ОНБ), ортогональный базис (ОГБ) и косоугольный базис (КСБ).

ОНБ: е₁ е₂ |e₁| = 1

е₂ е₃ |e₂| = 1

е₃ е₁ |е₃| = 1

Любой вектор может быть разложен в базисе

а = е₁ + е₂ + е₃, но обычно записывают а = а¹е₁ + а²е₂ + а³е₃ = = аⁱ e_i – тензорная нотация Эйнштейна.

4. Декартова система координат – это базис, дополненный некоторой фиксированной точкой, которая называется началом координат.

Имея базисы, мы можем идентифицировать векторы со столбцами чисел и производить арифметические операции над ними:

a = b = a+b =

Разложив вектор по базису, получим три числа – декартовы координаты. Координаты тоже нумеруются верхними индексами, так как они суть координаты радиус-вектора.