Центральная предельная теорема. Причину чрезвычайно широкой распространенности случайных величин, описывающихся нормальным распределением

Причину чрезвычайно широкой распространенности случайных величин, описывающихся нормальным распределением, объясняет центральная предельная теорема, доказанная А.М. Ляпуновым.

Центральная предельная теорема: Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному распределению.

Пусть - последовательность независимых случайных величин, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию

.

Введем обозначения для суммы случайных величин, суммы их математических ожиданий и суммы их дисперсий

.

Рассмотрим функцию , которая, как легко показать, имеет математическое ожидание и дисперсию, равные нулю и единице соответственно (нормированная сумма).

Действительно,

,

Обозначим функцию распределения нормированной суммы

.

Говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема, если при любом x функция распределения нормированной суммы при стремится к нормальной функции распределения:

В частности, если все случайные величины одинаково распределены, то к этой последовательности применима центральная предельная теорема, при условии, что дисперсии всех величин конечны и отличны от нуля. В частном случае, когда математические ожидания и дисперсии всех одинаковы (), в последнем равенстве нужно положить .

Центральная предельная теорема находит чрезвычайно широкое применение в математической статистике, в частности, при обосновании выбора закона распределения генеральной совокупности.

В заключение отметим, что использование теоремы Чебышева и центральной предельной теоремы позволяет не только осуществлять научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.