![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Дана выборка объема n = 150. Для заданного массива чисел провести следующую статистическую обработку:
1. Построить интервальный статистический ряд из 11 интервалов.
2. Построить гистограмму и эмпирическую функцию плотности распределения.
3. Используя метод условных вариант, найти точечные статистические оценки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную выборочную дисперсию, исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.
|
![]() |
4. Найти и построить эмпирическую функцию распределения.
5. При уровне надежности 0,99 найти доверительные интервалы для математического ожидания генеральной совокупности при неизвестном среднем квадратическом отклонении и для среднего квадратического отклонения нормальной генеральной совокуп-ности.
6. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона с уровнем значимости 0,05.
Дана выборка значений с.в. Y:
1) 259,829 | 26) 253,778 | 51) 270,081 | 76) 268,955 | 101) 296,778 | 126) 263,433 |
2) 267,64 | 27) 244,805 | 52) 262,457 | 77) 238,353 | 102) 268,218 | 127) 252,37 |
3) 312,899 | 28) 252,102 | 53) 271,951 | 78) 230,743 | 103) 246,303 | 128) 272,148 |
4) 272,813 | 29) 281,438 | 54) 252,563 | 79) 265,646 | 104) 264,015 | 129) 264,112 |
5) 261,48 | 30) 256,436 | 55) 278,693 | 80) 248,897 | 105) 246,601 | 130) 259,992 |
6) 254,038 | 31) 253,982 | 56) 265,864 | 81) 253,174 | 106) 290,478 | 131) 270,929 |
7) 293,042 | 32) 280,877 | 57) 299,315 | 82) 271,471 | 107) 279,664 | 132) 267,557 |
8) 269,126 | 33) 279,755 | 58) 290,393 | 83) 272,24 | 108) 291,862 | 133) 270,364 |
9) 252,017 | 34) 283,098 | 59) 271,525 | 84) 275,873 | 109) 288,168 | 134) 270,38 |
10) 265,058 | 35) 288,484 | 60) 254,038 | 85) 285,553 | 110) 286,977 | 135) 257,347 |
11) 277,691 | 36) 293,042 | 61) 268,573 | 86) 268,041 | 111) 284,058 | 136) 301,452 |
12) 263,848 | 37) 296,622 | 62) 269,352 | 87) 261,765 | 112) 306,836 | 137) 303,342 |
13) 266,344 | 38) 278,231 | 63) 269,864 | 88) 269,778 | 113) 279,049 | 138) 287,113 |
14) 264,323 | 39) 265,336 | 64) 267,378 | 89) 257,85 | 114) 263,771 | 139) 272,685 |
15) 256,36 | 40) 270,418 | 65) 257,906 | 90) 297,077 | 115) 263,101 | 140) 276,359 |
16) 283,28 | 41) 252,985 | 66) 262,670 | 91) 300,167 | 116) 256,203 | 141) 256,993 |
17) 272,843 | 42) 278,86 | 67) 258,501 | 92) 295,17 | 117) 292,483 | 142) 246,415 |
18) 266,4 | 43) 278,146 | 68) 259,151 | 93) 276,384 | 118) 270,714 | 143) 257,282 |
19) 264,603 | 44) 257,155 | 69) 270,366 | 94) 257,538 | 119) 266,169 | 144) 278,083 |
20) 267,741 | 45) 273,997 | 70) 256,433 | 95) 255,497 | 120) 283,157 | 145) 264,89 |
21) 269,272 | 46) 257,56 | 71) 242,25 | 96) 266,39 | 121) 303,556 | 146) 252,727 |
22) 255,611 | 47) 252,481 | 72) 238,538 | 97) 252,693 | 122) 300,772 | 147) 282,907 |
23) 266,835 | 48) 253,816 | 73) 279,923 | 98) 248,381 | 123) 308,472 | 148) 293,569 |
24) 259,814 | 49) 261,213 | 74) 271,084 | 99) 259,567 | 124) 306,441 | 149) 275,939 |
25) 270,127 | 50) 250,429 | 75) 270,526 | 100) 306,935 | 125) 286,887 | 150) 259,687 |
I. Построение интервального статистического ряда
1. Упорядочим данный числовой массив, т. е. построим вариационный ряд.
2. Число задаваемых интервалов K = 11.
3. Находим наименьшую и наибольшую варианты в выборке
Y min = 230,743, Y max = 312,899.
4. Находим длину интервала статистического ряда
.
5. Вычисляем крайние границы статистического ряда
;
.
Следующие границы подсчитываем по итерационной формуле
yi +1 = yi + D Y,
считая у лев = у 0.
Столбцы 1, 2, 3 табл. 1 и представляют интервальный статистический ряд для данной с.в. Y.
А столбцы 1, 3, 4 могут рассматриваться как дискретный статистический ряд. В силу плотности значений с.в. Y здесь середина интервала может считаться общим для всех вариант данного интервала.
Таблица 1
№ | (yi; yi +1) | ni | ![]() | ui | uini | ![]() | ![]() | ![]() |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
226,6352; 234,8508 | 230,743 | – 5 | – 5 | – 125 | ||||
234,8508; 243,0664 | 238,9586 | – 4 | – 12 | – 192 | ||||
243,0664; 251,282 | 247,1742 | – 3 | – 21 | – 189 | ||||
251,282; 259,4976 | 255,3898 | – 2 | – 60 | – 240 | ||||
259,4976; 267,7132 | 263,6054 | – 1 | – 31 | – 31 | ||||
267,7132; 275,9288 | 271,821 | |||||||
275,9288; 284,1444 | 280,0366 | |||||||
284,1444; 292,36 | 288,2522 | |||||||
292,36; 300,5756 | 269,4618 |
Окончание табл. 1
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
300,5756; 308,7912 | 304,6834 | |||||||
308,7912; 317,0068 | 312,899 | |||||||
S | – 24 |
II. Построение гистограммы частот и эмпирической функции плотности распределения
Для интервального статистического ряда построим его геометрический аналог – гистограмму частот, по которой строится эмпирическая функция плотности распределения.
Гистограмма частот и эмпирическая функция плотности распределения представлены на рис. 20.
Рис. 20. Гистограмма частот и эмпирическая функция
плотности распределения
III. Расчет точечных статистических оценок
Для удобства расчетов перейдем к условным вариантам
,
где с – «ложный нуль» – выбирается из середины статистического ряда и в нашем случае c = 271,821.
1. Вычислим выборочную среднюю по формуле
.
Получим
.
2. Вычислим выборочную дисперсию
,
где – условные статистические моменты k -го порядка.
Вычислим статистические моменты 1, 2, 3 и 4-го порядков:
,
,
,
.
Тогда выборочная дисперсия равна
.
Вычислим исправленную выборочную дисперсию
.
3. Вычислим выборочное среднее квадратическое отклонение по формуле
.
Тогда
.
Исправленное СКО вычислим по формуле
.
Получим
.
4. Найдем числовые характеристики деформации.
Асимметрию найдем по формуле
,
где ; m 3 – центральный эмпирический момент 3-го порядка, m 3 =
=
.
Статистические моменты были вычислены ранее. Тогда центральный эмпирический момент 3-го порядка равен
.
Вычислим асимметрию
.
Эксцесс найдем по формуле
,
где ; m 4 – центральный эмпирический момент 4-го порядка, m 4 =
=
.
Статистические моменты были вычислены ранее. Тогда центральный эмпирический момент 4-го порядка равен
.
Вычислим эксцесс
.
IV. Эмпирическая функция распределения
По определению
График эмпирической функции распределения представлен на рис. 21.
149/150
141/150
131/150
122/150
102/150
72/150
41/150
11/150
4/150
1/150
Рис. 21. График эмпирической функции распределения
V. Расчет доверительных интервалов
1. Доверительный интервал для математического ожидания.
Выбираем формулу для случая, когда σ неизвестно:
.
А. Задаем надежность γ = 0,95.
Находим по табл. П. 2
t γ = t (0,95,150) = 1,96.
Тогда
;
;
.
Здесь длина интервала | а – b | = 2,599.
Б. Пусть теперь надежность γ = 0,99.
Соответственно, tγ = t (0,99,150) = 2,576.
Тогда доверительный интервал примет вид
;
;
.
Видим, что с увеличением надежности интервал расширяется. Здесь длина интервала | a – b | = 3,416.
2. Доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения.
Доверительные интервалы для СКО вычисляются по формуле .
А. Выбираем надежность γ = 0,95, тогда значение q = q (0,95,150) = 0,115 (табл. П. 3)
.
Б. При надежности γ = 0,99 получаем значение q = q (0,99,150) = 0,16
и
.
Вычислив длины интервалов, опять убеждаемся в том, что чем выше надежность, тем шире интервал.
VI. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона
Судя по гистограмме и значениям асимметрии и эксцесса (близким к нулю), можно выдвинуть гипотезу Н 0 – «ГС распределена нормально». Проверим эту гипотезу по критерию Пирсона.
Пересчитаем границы интервалов
.
В силу того что нормальное распределение охватывает всю числовую ось, полагают
,
.
Все промежуточные значения вычисляются по указанной формуле:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Вероятность попадания величины в i -ый интервал рассчитывается по формуле
,
где – интегральная функция Лапласа (см. табл. П. 1).
Теоретические частоты рассчитываются по формуле
.
Составим расчетную таблицу (табл. 2) для наблюдаемого значения критерия Пирсона.
Таким образом, наблюдаемое значение критерия .
Таблица 2
zi | zi +1 | Ф(zi) | Ф(zi +1) | pi | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | –2,203 | –0,5 | –0,4861 | 0,0139 | –1 | 0,5 | |
–2,203 | –1,695 | –0,4861 | –0,4549 | 0,0311 | –2 | 0,8 | |
–1,695 | –1,188 | –0,4549 | –0,383 | 0,0719 | –4 | 1,455 | |
–1,188 | –0,68 | –0,383 | –0,2517 | 0,1313 | |||
–0,68 | –0,173 | –0,2517 | –0,0694 | 0,1822 | 0,593 | ||
–0,173 | 0,335 | –0,0694 | 0,1312 | 0,2006 | |||
0,335 | 0,843 | 0,1312 | 0,3009 | 0,1697 | –5 | ||
0,843 | 1,35 | 0,3009 | 0,4115 | 0,1106 | –8 | 3,765 | |
1,35 | 1,858 | 0,4115 | 0,4686 | 0,0571 | 0,111 | ||
1,858 | 2,365 | 0,4686 | 0,491 | 0,0224 | 8,333 | ||
2,365 | ![]() | 0,491 | 0,5 | 0,009 | |||
![]() | 21,577 |
По уровню значимости и числу степеней свободы
(S – количество интервалов) находим критическое значение критерия (табл. П. 4)
.
Поскольку , следовательно, гипотеза о нормальном распределении ГС по критерию Пирсона отвергается.
Дата публикования: 2015-01-09; Прочитано: 1434 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!