Дәріс. Туындының көмегімен функцияларды зерттеу

функциясы аралығында берілсін. Егер кез келген үшін теңсіздігінен () теңсіздігі шығатын болса, онда функциясы аралығында өседі (кемиді) дейді.

Теорема.Егер аралығында дифференциалданатын функциясының туындысы осы аралықта оң (теріс) болса, онда ол осы аралықта өседі (кемиді).

Демек, өсу немесе кему интервалында функцияның туындысы таңбасын өзгертпейді.

1-мысал. функцияның өсу және кему аралықтарын табу керек. Ол үшін функция туындысының таңбасының тұрақтылық интервалдарын анықтаймыз . Бұл квадрат үшмүшеліктің түбірлері x₁=0, x₂=2. Сондықтан, егер аралығында , демек функциясы бұл аралықта кемиді. Ал аралықтарында f'(x)>0, демек бұл аралықтарда функция өседі.

Теорема (экстремумның қажетті шарты). Егер дифференциалдана-тын функциясының нүктесінде экстремумы бар болса, онда сол нүктеде болады. Осы теоремадан мынадай қорытындыға келеміз: егер нүктесінде функцияның экстремумы бар болса, онда ол нүктеде оның туындысы нөлге тең, не ол нүктеде туындысы болмауы мүмкін. Кері тұжырым әрқашан орындала бермейді. Мысалы, функциясының x₀=0 нүктесінде туындысы , ал бірақ ол нүктеде функция не максимум, не минимум қабылдамайды. функциясының туындысы нөлге айналатын немесе тіпті болмайтын нүктелерді күдікті нүктелер немесе «кризистік» нүктелер деп атайды.

Функцияның экстремумын осы күдікті нүктелердің арасынан іздеу керек.

Теорема (экстремумнің жеткілікті шарты). Егер нүктесінде функциясының туындысы нөлге тең болса және нүктесінен өткенде таңбасын өзгертсе, онда нүктесі экстремум нүктесі болады: 1) егер таңба «плюс»-тен «минус»-ке өзгерсе, онда – максимум нүктесі; 2) егер таңба «минус»-тен «плюс»-ке өзгерсе, онда – минимум нүктесі болады.

2-мысал. функциясын экстремумге зерттеп, өсу және кему аралықтарын анықтау керек. Функция туындысы , осыдан , күдікті нүктесін табамыз. нүктесінде функцияның туындысы болмайды, сондықтан ол да күдікті нүкте. Интервалдар тәсілімен f '(x)-тің таңбаларын анықтаймыз. Функция барлық нүктелерде үзіліссіз, жеткіліктілік шарты бойынша максимум нүктесі, ал минимум нүктесі. (–¥, 0) және интервалдарда функция өседі, ал интервалда кемиді Зерттеу нәтижелерін таблицаға жазамыз:

x	(–¥,0)		(0, )		(, +¥)
f '(x)	+	Туындысы жоқ	–		+
f (x)		max		min

Теорема. функциясының нүктесінде бірінші және екінші туындылары бар болсын. Егер нүктесінде функциясының бірінші туындысы нөлге тең, яғни болса, ал екінші туындысы нөлден ерекше, яғни болса, онда - экстремум нүктесі болады: 1) егер болса, онда – минимум нүктесі; 2) егер болса, онда – максимум нүктесі болады.

Функцияның кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндері. Функция өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін экстремум нүктелерінде не кесіндісінің шеткі нүктелерінде қабылдауы мүмкін. Ең үлкен және ең кіші мәндерді табу үшін алдымен функцияның күдікті нүктелерін (не туынды нөлге тең, не туынды жоқ нүктелер) табу керек. Содан соң функцияның күдікті нүктелеріндегі және кесіндінің шеткі нүктелеріндегі мәндерін тауып, олардың ішінен ең үлкен және ең кіші мәндерді іздеу керек.

3-мысал. функциясының кесіндісіндегі ең үлкен және ең кіші мәндерін табу керек. Күдікті нүктелерді табамыз:

Осыдан - күдікті нүктелер. Енді функцияның күдікті нүктелердегі және шеткі нүктелердегі мәндерін табамыз:

. Сонымен _{үлкен кіші} .