Дәріс. Бір айнымалы функциялардың дифференциалдық есептеулері. Функцияның туындысы

Айталық, функциясы нүктесінде және оның маңайында анықталған болсын.

Анықтама. Аргумент -тің нүктесіндегі өсімшесі деп айырмасын атайды.

Анықтама. функцияның нүктесіндегі өсімшесі деп айырмасын айтады.

Анықтама. Егер функциясы нүктесінің маңайында анықталған және болса, онда ол нүктесінде үзіліссіз деп аталады. Шындығында да .

Анықтама. функциясының нүктесіндегі туындысы деп ақырлы шегін айтады.

Бұл туынды мына символдардың бірімен белгіленеді:

.

Егер функциясының интервалының әрбір нүктесінде туындысы болса, онда оны осы интервалда дифференциалданады дейді. Туындыны табу амалын дифференциалдау дейді.

Теорема. Егер функциясы нүктесінде дифференциалдана-тын функция болса, онда ол бұл нүктеде үзіліссіз болады.

Ескерту: кері теорема орындалмайды.

Туындының геометриялық мағынасы. Туындының геометриялық мағынасы: туындысы функциясының графигіне нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті болады. Осы жанаманың теңдеуін былай жазады:

Туындының механикалық мағынасы. Егер айнымалысын уақыт деп есептеп, - функциясы дененің жүрген жолын сипаттаса, онда дененің уақытындағы жылдамдығын білдіреді.

Дифференциалдаудың негізгі ережелері. Туындының анықтамасын пайдаланып, кейбір элементар (қарапайым) функциялардың туындыларын есептейміз.

1. Көрсеткішті функция

.

Дербес жағдайда .

2. Тригонометриялық функциялар .

Дәл осылай .

1. Дәрежелік функция . . Дербес жағдайда, .

Теорема 1. (қосындыны, көбейтіндіні және қатынасты дифференциал-дау ережелері). Егер және дифференцианалданатын болса, онда бұл функциялардың қосындысы, көбейтіндісі және қатынасы да (қатынастың бөлімі ) осы нүктеде дифференцианалданады және мына формулалар орынды:

1. 2. 3. .

Күрделі функцияның туындысы. функциялары үзіліссіз және дифференциалданатын функциялар болсын. Сонда күрделі функциясының туындысы:

. Сонымен .

1-мысал. туындысын табу керек. Функцияны былай жазамыз , мұндағы . Сондықтан .

2-мысал. туындысын табу керек

.

Кері функцияның туындысы. және оған кері функциялары кесіндісінде үзіліссіз және дифференциалданатын болсын. Сонда кері функцияның туындысы: . Сонымен болады.

3-мысал. .

Мұнда . .

4-мысал. . Негізгі элементар функциялар туындыларының кестесі

Осы кесте мен туындыны есептеу ережелерінің жәрдемімен кез келген функциялардың туындысын табуға болады.