Дәріс. Бірнеше айнымалылар функциялары. Бірнеше айнымалылар функциялары туралы негізгі ұғымдар

Біз осы уақытқа дейін жоғарғы математика курсында анықталу облысы мен мәндер облысы сандар өсінің кейбір ішкі жиындары болып келген бір айнымалы функциясын қарастырдық.

Бірақ практикада айнымалысы бір аргументтен асатын өзінің зерттеу ерекшеліктері бар функциялар кеңінен қолданылады.

Анықтама. Екі (үш) айнымалы функция деп, анықталу облысы жазықтықтағы (кеңістіктегі) кейбір ішкі жиындар қурайтын, ал мәндер облысы нақты сандар өсіне жататын, функцияны айтады.

Егер жазықтығында ал өсінде жатса онда екі айнымалы функцияны мына түрде жазамыз. Егер ал , онда үш айнымалы функцияны мына түрде жазымыз.

Анықтама. Радиусы -ге тең жазықтықтағы (немесе кеңістіктегі ) нүктесінің аймағы деп центрі нүктесіндегі радиусы -ге тең шеңберсіз дөңгелекті (немесе сферасыз шарды) айтады. Мұндай аймақты арқылы белгілейміз. Жазықтықта мына теңсіздігімен анықталады: ал кеңістікте – .

Анықтама. Егер нүктесінің радиусы -ге тең кез келген аймағы жиынымен және оның толықтауыш жиынымен қиылысатын болса, онда нүктесі жиынының шекаралық нүктесі деп аталады. жиынының барлық шекаралық нүктелері осы жиынның шекарасы деп аталады және деп белгіленеді.

Анықтама. шекарасын қамтитын жиынын жабық (тұйық) жиын деп атаймыз. Бірде – бір шекаралық нүктесін қамтымайтын жиыны ашық жиын деп аталады.

Мысалдар.

1) аймағы өз шекарасының бірде – бір нүктесін қамтымайды – шеңберді (немесе сфераны), сондықтан – ашық жиын.

2) теңсіздігімен жазықтықта берілген дөңгелек өз шекарасын – шеңберді қамтиды:

сондықтан ол – жабық жиын.

3) Жазықтықтың ширегі мына теңсіздіктермен анықталған және өсіндегі шекаралық бөлігін қамтиды және осінде шекараның бөлігін қамтымайды. Бұл жиын ашық та, жабық та емес. - сан болсын. функциясының деңгей сызығы деп, координаталары теңдігін қанағаттандыратын анықталу облысындағы барлық нүктелер жиынын айтамыз.

Осы сияқты географиядағы биіктіктері бірдей сызықтар бейнеленеді. Олар теңіз деңгейінен жергілікті нүктенің биіктігін анықтайтын функциясының деңгей сызықтары болады.

Мысал. функциясының әртүрлі деңгей сызықтарын табайық. Мұндай сызықтар теңдеуімен анықталады. болғанда аламыз; .

Сондықтан -дік деңгейде сызық центрі координаталар бас нүктесіндегі радиусы 1-ге тең шеңбер болады. болғанда аламыз:

; ; .

деңгейдегі сызықтық радиусы -ге тең центрі координаталар бас нүктесіндегі шеңбер болады. болғанда теңдеуі нүктесін, координаталар басын анықтайды (1 сурет)

1 сурет

және болғанда шешулері болмайды, сондықтан берілген функцияның деңгейлік сызықтары жоқ. Үш айнымалы функция графигінің орнына келесі ұғымдарды пайдалануға болады. функциясының деңгей сызықтары деп координаталары теңдік қанағаттандыратын анықталу облысының барлық нүктелер жиынын айтады.

Мысал. функциясын қараймыз, болғанда деңгей беттері радиусы -ға тең центрі координаталар басында болатын сфералар. болғанда деңгей беті координаталар басы болады. бұл функцияның деңгей беттері жоқ.

Бірнеше айнымалы функцияның шегі мен үзіліссіздігі. Жоғарыда көрсетілген екі-үш айнымалылы функциялардың ұғымдарын айнымалы жағдайға жалғастырайық.

Айнымалының функциясы деп, анықталу облысы - ге жататын, ал мәндер облысы нақты өсте жататын функцияны атайды. Мұндай функциядағы әрбір айнымалылар тобы -дан алынған, жалғыз санына сәйкес қояды.

санды айнымалысы бар функцияның ең жақсы берілу әдісі – аналитикалық әдіс.

Анықтама саны функциясының нүктесіндегі шегі деп аталады, егер әрбір үшін аймағындағы барлық үшін, осы нүктеден басқа, төмендегі теңсіздік орындалатын-дай саны табылса. Егер функциясының нүктесіндегі шегі болса, онда ол мына түрде белгіленеді:

Бір айнымалы функциялар үшін қарастырылған барлық қасиеттер көп айнымалы функциялар үшін де дұрыс болады.

Анықтама функциясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер төменгі үш шарт орындалса: 1) бар болса, 2) нүктесінде функцияның мәні бар, 3)

Функцияның үзіліссіздігін келесі теореманың көмегімен зерттеуге болады.

Теорема Кез келген элементар функция өзінің анықталу облысының барлық ішкі нүктелерінде (шеткі нүктелерінде емес) үзіліссіз болады.

Дербес өсімшелер мен дербес туынды. Бір айнымалы функциямен салыстырғанда көп айнымалылы функцияның өсімшелерінің түрлері көп болады. Бұл жағдайда жазықтығындағы қозғалыс нүктесінен әртүрлі бағыттарға қарай жүретініне байланысты.

Анықтама функциясының нүктесіндегі бойынша өсімшесі -ке сәйкес бойынша дербес өсімшесі деп айтамыз:

.

Бұл өсімше, бір айнымалы функцияның тұрақты болғанда функциясының өсімшесі болады.

Сол сияқты функциясының нүктесіндегі - бойынша өсімшесі ке сәйкес бойынша дербес өсімшесі деп мына айырманы айтамыз: . Бұл өсімше тұрақты мәнінде есептелінеді.

Мысал болсын. бойынша функцияның дербес өсімшелерін табайық:

;

;

Бұл мысалда аргументтердің бірдей өсімшелерінде , дербес өсімшелер әртүрлі. Бұл тікбұрыштың қабырғалары болатын, -ді -ге өсіргенде ауданының -ке, ал қабырғасын 1-ге өсіргенде ауданының - ке өсетінін білдіреді. (2 сур. қара).

2 сурет.

Анықтама. функциясының нүктесіндегі дербес туындысы деп осы функцияның бойынша дербес өсімшесінің, осы нүктедегі, аргументінің өсімшесі - ке қатынасын айтады:

.

Мұндай дербес туындылар , символдарымен белгіленеді. Соңғы жағдайда -әрпі «дербес» сөзін береді. Осы нүктесіндегі бойынша дербес туынды мына шекпен анықталады. Бұл дербес туындының басқа белгіленулері: , . Функциялардың дербес туындысы бір айнымалы функцияның туындыларын табу ережелері бойынша табылады, дифференциалданатын айнымалыдан басқа айнымалы-лар тұрақты деп есептелінеді. табу кезінде тұрақты деп есептеледі, ал тапқанда - тұрақты деп есептеледі.

Мысалы. 3 айнымалы функцияның дербес туындыларын табайық:

функциясының дербес туындылары бір айнымалыны уақтша тұрақты деп белгілеп алғандағы функцияның жылдамдығын көрсетеді.

Анықтама. функциясының дербес туындылары бар болса, онда оның дербес дифференциалдары деп өрнектері аталады, мұндағы . Екі айнымалы функцияның дербес дифференциалдары осы екі айнымалының біреуін тұрақты деп белгілеп алғандағы бір айнымалы функцияның дифференциалдары болып табылады.

Толық өсімше мен толық дифференциал. Функцияның толық өсімшесінің дербес өсімшелерден айырмашылығы - барлық айнымалылары өзгеріп отыратындығында.

Анықтама. функциясының нүктесіндегі аргументтер-дің өсімшелеріне сәйкес толық өсімшесі деп мына айырманы айтады:

. (1)

Мысал. , , , (алдыңғы мысалды қара). нүктесіндегі толық өсімшені табайық:

.

Бұл өсімше табандары 3,4 болатын тік төртбұрыштың әр қабырғасын 0,1-ге өсіргендегі тік төртбұрыштың ауданының өсімшесіне тең.

2 суретте толық өсімшесі екі штрихтелген аудандарына және оған қабырғасы 0,1-ге тең квадраттың ауданы қосылған.

Анықтама. Егер функциясының нүктесіндегі толық өсімшесін мұндағы - тұрақты, - шексіз аз жазуға болатын болса, онда функцияның нүктесіндегі толық дифференциалы деп аталады. Толық дифференциалды функция өсімшесін негізгі бөлігі деп атайды.

Белгілі бір нүктеде толық дифференциалы бар функция осы нүктеде дифференциалданатын функция деп аталды.

1 теорема. функциясы және оның дербес туындыларды нүктесінің кейбір аймағында үзіліссіз болсын. Онда функциясы нүктесінде дифференциалданады және оның толық дифференциалы дербес дифференциалдардың қосындысына тең:

(2)

Дәлелдеуі. Толық өсімше ті былай түрлендірейік:

(әр айырмаға Лагранж теоремасын қолданайық) = , мұндағы . үзіліссіздіктерінен

және

шығады. Сондықтан бұл дербес туындыларды мына түрде жазуға болады:

- шексіз аз шамалар. Сондықтан

,

анықтама бойынша болады. Сонымен теорема дәлелденді.

Мысал. функциясының толық дифференциалын табыңдар. Бұл функцияның дербес туындыларын табайық: ; ; Бұларды (2)-ге қойсақ, онда мынаны аламыз: . Егер (1) формуладағы толық өсімшені толық дифференциалмен ауыстырсақ, онда функцияның жуықтап табу формуласын аламыз:

(3).

Ескерту көп айнымалы функциясының толық дифференциалы мына формуламен есептелінеді:

.