Күрделі және айқындалмаған функцияларды дифференциалдау

Анықтама. , , функцияларынан құрылған күрделі функция деп екі айнымалыларынан тұратын функцияны айтамыз.

2 теорема. және функцияларының бойынша нүктесінде , бойынша дербес туындылары болсын, ал функциясы және оның мен бойынша дербес туындылары нүктесінің маңайында үзіліссіз болсын, ал , . Онда күрделі функцияның

(4)

нүктесінде дербес туындылары бар және мына формулалармен табылады:

(5)

Дәлелдеуі. және , функцияның нүктесіндегі аргументінің өсімшесіне сәйкес дербес өсімшелері болсын. Онда 1 теоремаға сәйкес функциясының нүктесінде толық дифференциалы болады және оның өсімшесі мына түрде жазылады:

,

мұнда , шексіз аз шамалар.

Соңғы теңдіктің екі жағында - ке бөлейік:

болса, онда , , , аламыз. (5) формуладағы екінші теңдікте осылай дәлелденеді.

3. Теорема. Айталық нүктесінің маңайында функциясы және , дербес туындылары үзіліссіз болсын, мұнда және . Сонда теңдеуі нүктесінің маңайында дифференциалданатын функциясын анықтайды және оның туындысы

(6)

тең.

Анықтама. теңдеуімен берілген функциясын екі айнмалының айқын емес функциясы деп атайды.

4. Теорема. Айталық нүктесінің маңайында функциясы және оның , , дербес туындылары үзіліссіз болсын, мұнда и , сонда теңдеуі нүктесінің маңайында дифференциалданатын функциясын анықтайды және оның дербес туындылары , тең.