Логарифмические частотные характеристики

При расчёте автоматических систем удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближённо заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков. Причём эти отрезки в большинстве случаев удаётся построить без громоздких вычислений при помощи простых правил. Кроме того в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, т.е. умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

ωC 1

ω, рад/с

L (ω), дБ

100

101

102

L (ω)

La (ω)

ωC 2

103

lg a, декада

Рис. 4.4

За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду. Декада – интервал частот, заключённый между произвольным значением ω _i и его десятикратным значением 10ω _i. Обычно в расчётах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (АЛЧХ)

,

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах (Б) или децибелах (дБ).

Бел – единица измерения отношения мощностей двух сигналов. Если мощность одного сигнала больше (меньше) мощности другого сигнала в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б (lg10 = 1).

Так как мощность гармонического сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, то при применении этой единицы для измерения отношения перед логарифмом появляется множитель 2. Например, если на некоторой частоте А (ω) = 100, то это означает, что мощность входного и выходного сигналов отличается в 100² раз, т.е. 2lg100 = 2×2Б=4Б или на 40дБ.

При построении разовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяют только по оси частот.

На рис. 4.4 показана ЛАЧХ L (ω) (сплошная линия) и соответствующая ей приближённая (асимптотическая) характеристика L_a (ω) в виде прямолинейных отрезков (пунктирная линия). Частоты, соответствующие точкам стыковки отрезков, называют сопрягающими и обозначают ω _С.

Пример. Получить частотные характеристики элемента, передаточная функция которого имеет вид

.

Комплексную частотную характеристику W (j ω) получим путём подстановки в передаточную функцию р = j ω:

.

Выражение для АЧХ найдём согласно (4.12) как отношение модулей числителя и знаменателя:

,

а фазовую (см. (4.13)) – как разность аргументов числителя и знаменателя:

.