Операционный метод и передаточная функция

Наиболее распространённым методом расчёта автоматических систем является операционный метод (операционное исчисление). В основе метода лежит преобразование Лапласа

, (4.3)

где – комплексная переменная (оператор Лапласа).

Преобразование Лапласа выполнимо лишь для тех функций, которые равны нулю при t < 0. Для линейных систем это приемлемо, т.к. решения, полученные при нулевых начальных значениях входной и выходной переменных, легко распространить на случай ненулевых начальных значений (добавить начальное значение).

Для широко используемых при расчёте автоматических систем функций времени имеется таблица преобразований Лапласа, чтобы каждый раз не выполнять преобразование (4.3).

Таблица 4.1

Изображение функций времени по Лапласу

Наименование функции	х (t)
1) Дельта-функция
2) Ступенчатая функция
3) Степенная функция
4) Экспонента
5) Синусоида
6) Косинусоида

Эту же таблицу используют для обратного перехода от решения ДУ, полученного в изображениях (это значительно проще) к его оригиналу.

В таблице 4.2 приведены основные свойства преобразования Лапласа.

Таблица 4.2

Основные свойства преобразования Лапласа

Наименование	Оригинал	Изображение
1) Линейность
2) Правило дифференцирования
3) Правило интегрирования
4) Изменение масштаба времени
5) Смещение аргумента (теорема запаздывания)
6) Теорема о начальном значении оригинала
7) Теорема о конечном значении оригинала

Широкое применение операционного метода в ТАУ обусловлено тем, что с его помощью определяют так называемую передаточную функцию, которая является самой компактной формой описания автоматических систем.

Применим преобразование Лапласа к линейному ДУ (3.1), полагая, что до приложения внешнего воздействия система находилась в покое и все начальные условия равны нулю.

Используя свойство линейности и правило дифференцирования (см. табл. 4.2) получим алгебраическое уравнение в изображениях:

, (4.4)

где ,

.

Уравнение (4.4) полностью совпадает с уравнением (3.2) в символической форме. Различие лишь в значении символа р: в уравнении (3.2) он обозначает операцию дифференцирования, а в уравнении (4.4) – комплексную переменную.

Передаточная функция W(p) – это отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:

. (4.5)

Зная передаточную функцию и изображение входной величины можно получить изображение выходной величины .

Из (4.4) следует, что

. (4.6)

Передаточную функцию формально можно получить из ДУ путём замены оператора дифференцирования на соответствующую степень р и деления образованного таким образом многочлена правой части на многочлен левой части.

Для реальных элементов и систем степень многочлена числителя (4.6) меньше или равна степени многочлена знаменателя, т.е. . Все коэффициенты передаточной функции – действительные числа.

Значение переменной р, при котором передаточная функция W (p) обращается в ноль, называется нулём, а значение, при котором передаточная функция обращается в бесконечность – полюсом передаточной функции. Очевидно, что нулями передаточной функции являются корни полинома K (p), а полюсами – корни полинома D (p). Корни полиномов K (p) и D (p) могут быть комплексными, мнимыми и вещественными числами (в том числе и нулевыми). Если корни известны, то передаточная функция может быть представлена в виде

, (4.7)

где ν _i – нули, λ _i – полюса передаточной функции.