Формы представления дифференциальных уравнений САУ

Дифференциальные уравнения (ДУ) большинства реальных объектов, составленные строго в соответствии с законами физики, являются нелинейными, что значительно усложняет последующий анализ. Поэтому стремятся перейти от трудно разрешимого нелинейного ДУ к линейному вида:

, (3.1)

где и – входная и выходная величины элемента или системы;

a_i, b_i – коэффициенты ДУ, называемые параметрами.

Параметры некоторых элементов изменяются во времени, причём скорость их изменения соизмерима со скоростью процессов управления в системе. Такую систему называют нестационарной или системой с переменными параметрами.

В большинстве практических случаев коэффициенты ДУ существенно не изменяются. Такие системы называются системами с постоянными параметрами. Будем рассматривать только такие системы.

Для систем описываемых линейными ДУ вида (3.1) справедлив принцип наложения или суперпозиции, согласно которому изменение выходной величины у (t), возникающее при действии на систему нескольких входных величин х_i (t), равно сумме изменений у_i (t) выходной величины, вызываемых каждой входной величиной в отдельности.

Это свойство имеет большое практическое значение, так как облегчает расчёты.

Рассмотрим типовые формы записи ДУ, используемые в ТАУ.

1. Символическая или операторная форма

Переход к этой форме осуществляется введением сокращённого условного обозначения операции дифференцирования d/dt = p ₀. Соответственно

.

Уравнение (3.1) в операторной форме будет иметь вид:

. (3.2)

Многочлен

называют собственным оператором, а многочлен

называют входным оператором или оператором воздействия.

Название ˝собственный˝ обусловлено тем, что многочлен D (p) характеризует собственное движение элемента, т.е. движение при отсутствии внешних воздействий (почему тогда движется?). Оператор D (p) называют также характеристическим.

У всех реальных элементов и систем порядок наивысшей производной во входном операторе не может быть больше порядка наивысшей производной в собственном операторе, т.е. всегда .

Если в процессе каких либо формальных выкладок образуется уравнение, у которого , то говорят, что это уравнение соответствует физически нереализуемой системе.

2. Стандартная форма

Уравнения элементов невысокого порядка в ТАУ принято записывать в стандартной форме. Для этого ДУ преобразовывают таким образом, чтобы коэффициент при выходной величине был равен единице. При этом коэффициент перед входной величиной х в правой части уравнения становится равным передаточному коэффициенту (коэффициенту усиления) звена или системы, а коэффициенты при производных выходной величины будут иметь размерность времени в степени, равной порядку соответствующей производной.

Например, уравнение второго порядка

путём деления всех членов на коэффициент а ₂ может быть приведено к стандартной форме

,

где ; ; ; .

Коэффициенты Т, Т ₁, Т ₂ называют постоянными времени, они характеризуют динамические свойства элемента.