Частотные характеристики

Рассмотрим физическую сущность и разновидности частотных характеристик.

Пусть на вход линейного элемента (рис. 4.2) в момент времени t = 0 подано гармоническое воздействие с частотой ω

W (j ω)

y (t)= ym sin(ω t +φ)

x (t)

х (t)= хm sinω t

xm (t)

ym (t)

T =2π/ω

t

Δ t

y (t)

.

Рис. 4.2

Через некоторое время сигнал на выходе элемента войдёт в режим установившихся вынужденных колебаний и выходная величина y (t) будет изменяться по гармоническому закону с той же частотой ω, но с другой амплитудой и со сдвигом по времени Δ t. Причём y_m и Δ t будут зависеть от ω.

Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) и обозначают А (ω):

.

Зависимость фазового сдвига между входными и выходными сигналами от частоты называют фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно объединить в одну общую амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ).

А (ω)

ω

jQ (ω)

ω =0

P (ω)

a)

в)

ω =0

ω 1

ω 2

ωi

W (jωi)

φ (ωi)

K

A (ωi)

б)

ω

φ(ω)

270°

ω

АФЧХ W (j ω) представляет собой функцию комплексной переменной j ω, модуль которой равен А (ω), а аргумент равен φ(ω).

Рис. 4.3. Частотные характеристики:
а) – амплитудная; б) – фазовая; в) – АФЧХ

Каждому значению ω _i соответствует комплексное число W (j ω _i), которое на комплексной плоскости можно представить вектором, имеющим длину А (ω _i) и угол поворота φ(ω _i).

Отрицательное значение φ(ω), соответствующее отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси.

Проекции вектора W (j ω) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками и обозначают

, .

4.4. Связь между частотными характеристиками и
передаточной функцией

Аналитическое выражение для АФЧХ элемента можно получить из его передаточной функции путём подстановки р = j ω:

.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика может быть представлена в следующих формах:

- показательной

; (4.7)

- алгебраической

; (4.8)

- тригонометрической

. (4.9)

Связь между различными частотными характеристиками:

; (4.10)

. (4.11)

Так как АФЧХ W (j ω), как и передаточная функция, представляет собой обычно дробь, то её модуль может быть найден как отношение модуля числителя к модулю знаменателя:

, (4.12)

а аргумент функции W (j ω) – как разность аргументов числителя и знаменателя:

. (4.13)