Дифференциальное уравнение инерционного звена второго порядка
. (5.17)
В изображениях по L:
.
Передаточная функция:
. (5.18)
Характеристическое уравнение звена
имеет два корня
. (5.19)
Общее решение ДУ второго порядка
. (5.20)
Характер переходного процесса зависит от вида корней (5.19).
Если 
, то оба корня действительные:
, 
, (5.21)
где Т 3 и Т 4 – постоянные времени, причём Т 3 > Т 4.
В случае действительных корней переходная функция звена имеет монотонный апериодический характер, и звено называется апериодическим звеном второго порядка.
При знаменатель передаточной функции (5.18) можно разложить на два множителя и представить в виде
, (5.22)
т.е. как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка.
Если Т 1 < 2 Т 2, то корни (5.19) комплексные
,
где 
; 
.
Решение (5.20) в этом случае содержит гармонические составляющие, и звено называют колебательным.
Несмотря на то, что апериодическое и колебательное звенья описываются одним ДУ (5.17) они существенно отличаются по динамическим характеристикам.
Рассмотрим характеристики апериодического звена второго порядка.
Переходная функция (рис. 5.5):
(5.23)
(Импульсную переходную функцию
получить самостоятельно).
Рис. 5.5. Временны́е характеристики апериодического звена второго порядка:
а) – переходная функция; б) – импульсная переходная функция
На более высокий порядок, чем первый, указывает плавный характер начального участка переходной и импульсной переходной функций (рис. 5.5, б).
Частотные характеристики апериодического звена второго порядка показаны на рис. 5.6.
Рис. 5.6. Частотные характеристики апериодического звена второго порядка:
а) – АФХ; б) – АЧХ и ФЧХ; в) – ЛАЧХ
Дифференциальное уравнение колебательного звена записывают в следующем виде:
, (5.23)
где Т = Т 2 – постоянная времени, характеризующая инерционность звена;
– относительный коэффициент демпфирования, характеризующий колебательность звена (0 ≤ ξ ≤ 1).
Передаточная функция:
. (5.24)
Корни соответствующего характеристического уравнения:
, (5.25)
где 
– коэффициент затухания;
– круговая частота затухающих колебаний, рад/с.
Переходная функция колебательного звена
(5.26)
представляет собой синусоиду, амплитуда которой убывает по экспоненциальной огибающей (пунктирная линия на рис. 5.7). Период затухающих колебаний равен
. (5.27)
Чем больше коэффициент ξ и меньше постоянная Т, тем быстрее затухают колебания.
Если коэффициент демпфирования ξ = 0 (что соответствует
Т 1 = 0), то переходная функция будет представлять незатухающие колебания с частотой ω
0 = 1/
Т.
Рис. 5.7. Временны́е характеристики колебательного звена:
а) – переходная функция; б) – импульсная переходная функция
Амплитудно-фазовая частотная характеристика колебательного звена (рис. 5.8, а):
.
Ей соответствует АЧХ (рис. 4.12, б)
(5.28)
и ФЧХ
. (5.29)
(вывести самостоятельно)
АЧХ при частоте
имеет максимум (резонансный пик). Максимум существует, если
, т.е. если
ξ < 0,707.
Рис. 5.8. Частотные характеристики колебательного звена:
а) – АФХ; б) – АЧХ и ФЧХ; в) – ЛАЧХ
На рис. 5.8, б видно, что колебательное звено является фильтром низких частот: хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо сигналы высокой частоты.
Примером апериодического звена второго порядка является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением. Если в качестве входной величины рассматривать ЭДС еИ, подводимую от источника регулируемого напряжения, а в качестве выходной величины – частоту вращения вала n (об/с), то двигатель по этому каналу описывается передаточной функцией:
, (5.30)
где ТМ – электромеханическая постоянная времени;
ТЯ – электромагнитная постоянная времени якорной цепи.
Инерционность двигателя обусловлена процессами накопления электромагнитной энергии в индуктивности якорной цепи и кинетической энергии во вращающихся массах. Для серийных двигателей постоянного тока KД = 0,01…0,03 об/с; ТЯ = 0,01…0,1 с; ТМ = 0,01…0,1 с. Причём для двигателей большой и средней мощности 
.
