Теоретико-множинний смисл суми двох цілих невід’ємних чисел

Розглянемо дві задачі.

1) «На тарілці лежать 3 груші і 5 яблук. Скільки всього фруктів на тарілці?»

Задача розв’язується виразом на додавання 3 + 5 = 8, бо мова йде про об’єднання двох множин: множини груш (число елементів – 3) та множини яблук (число елементів – 5). Ці множини не перетинаються. Щоб знайти, скільки всього фруктів на тарілці, треба об'єднати множини груш та яблук і полічити, скільки всього елементів у цьому об’єднанні. Число елементів об’єднання даних множин дорівнює 8; тобто 8 фруктів на тарілці.

2) «Знайти кількість елементів в об’єднанні множин A = { k, l, m, n } та B = { n, o, p }».

Розв’язання. Кількість елементів множини A: n (A) = 4, а кількість елементів множини B: n (B) = 3. За означенням A B = { k, l, m, n, o, p } n (A B) = 6. Але n (A B) ≠ 4 + 3. Чому? Тому, що А В = { n } і, отже,

n (A) + n (B) ≠ n (A B).

Звідси, суму цілих невід’ємних чисел визначають через об’єднання двох множин, що не перетинаються.

Означення. Сумою двох цілих невід’ємних чисел а і b називається число елементів в об’єднанні множин А і В, які не перетинаються і таких, що n (А) = а, п (В) = b, тобто а + b = п (А В), де а = п (А), b = п (В), А В = .

Сума не залежить від вибору двох множин, що не перетинаються, але таких, що n (A) = a і n (B) = b.

Приклади:

1) A = { a, b }, B = { c, d } A B = { a, b, c, d } і А В = , отже, n (A B) = n (A) + n (B) = 2 + 2 = 4, де n (A) = 2, n (B) = 2.

2) A = {Δ, Δ}, B = {Ο, Ο} A B = {Δ, Δ, Ο, Ο} і А В = , отже, n (A B) = n (A) + n (B) = 2 + 2 = 4, де n (A) = 2, n (B) = 2.

Дія, за допомогою якої знаходять суму, називається додаванням. Числа, які додаються, називаються доданками.

У початковому курсі математики додавання цілих невід’ємних чисел вводиться на основі виконання практичних вправ, пов’язаних з об’єднанням двох множин предметів (без використання відповідної символіки та термінології). Основним засобом розкриття теоретико-множинного смислу додавання є розв’язування простих текстових задач.