Примеры исследования функций многих переменных

1. Найти полный дифференциал функции в точке М (1;2).

Найдем частные производные функции :

Вычислим значения производных в точке М (1;2):

; .

Тогда полный дифференциал функции в точке М (1;2) будет иметь вид:

.

2. Найти смешанную частную производную второго порядка функции .

,

.

3. Найти производную функции в точке по направлению l, составляющему угол 30 градусов с направлением оси OX.

Определим направляющие косинусы оси l:

, .

Вычислим частные производные функции :

, .

Их значения в точке соответственно равны:

, .

Найдем производную функции по направлению l в точке :

.

4. Найти производную функции в точке по направлению l, заданному вектором .

Найдем направляющий единичный вектор оси l:

.

Так как длина вектора равна:

,

тогда

.

Вычислим частные производные функции :

, , .

Их значения в точке соответственно равны:

, , .

Таким образом: .

Тогда производная функции по направлению l в точке равна:

.

5. Найти локальный экстремум функции .

Находим критические точки:

Решая систему двух уравнений, получаем .

Следовательно, имеются две критические точки: .

Исследуем эти точки на экстремум. Для этого найдем вторые частные производные:

, , .

Исследуем точку :

…………………..

5. Найти точки условного экстремума функции z = x ² − y ²

при условии x ² + y ² = 1.

Строим функцию Лагранжа L (x, y, λ) = x ² − y ² + λ(x ² + y ² − 1).

Находим стационарные точки функции L (x, y, λ). Для этого находим ее частные производные по всем аргументам x, y, λ и приравниваем их нулю. Получаем систему уравнений

L ' _x = 2 x + 2λ x = 0

L ' _y = − 2 y + 2λ y = 0

L '_λ = x ² + y ² − 1

Тогда

x (1 + λ) = 0

y (λ − 1) = 0

x ² + y ² = 1

Решая систему уравнений, находим

λ = − 1 Þ y = 0, x = ± 1,

λ = 1 Þ x = 0, y = ± 1,

Таким образом, функция f (x, y) = x ² − y ² имеет четыре стационарные точки при x ² + y ² = 1:

M _1,2(±1, 0), M _3,4(0, ±1).

Точки M _1,2(±1, 0) являются точками условного максимума, а точки M _3,4(0, ±1) — точками условного минимума.