Частные производные и дифференциалы высших порядков. Если функция имеет частную производную по одной из переменных, то эта производная, являясь функцией от

Если функция имеет частную производную по одной из переменных, то эта производная, являясь функцией от , может в свою очередь, иметь частные производные по той же или по другой переменной. Для исходной функции эти производные называются частными производными второго порядка и обозначаются как

или , или , или .

Аналогично определяются частные производные более высокого порядка. Частные производные, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции . Сначала находим частные производные первого порядка. Следует обратить внимание на то, что при фиксированном y функция представляет собой произведение двух функций, зависящих от x, а при фиксированном x это константа, умноженная на функцию от y: . Теперь вычислим производные второго порядка: В качестве проверки можно найти вторую смешанную производную и убедиться, что результаты совпадают:

Теорема. Если в некоторой окрестности точки у функции существуют производные , при этом смешанные производные и непрерывны в точке , то .

То есть частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.

Аналогично определяются дифференциалы высших порядков:

…………………