Выпуклость функции

Определение. Множество называется выпуклым, если отрезок, построенный на двух точках принадлежащих этому множеству, содержится в множестве D.

Рис.

Определение. Функция , определенная на множестве , называется выпуклой вверх (вниз) на множестве D, если для любых двух точек и любого выполняются условия:

().

Если в последних условиях неравенства строгие, то функция называется строго выпуклой вверх (вниз).

Теорема (необходимое и достаточное условие выпуклости). Пусть функция определена на выпуклом и открытом множестве , пусть существуют ее частные производные второго порядка

,

тогда:

· функция будет выпукла вниз на множестве D, если для любого :

,

· функция будет выпукла вверх на множестве D, если для любого :

.

Теорема (достаточное условие строгой выпуклости). Пусть функция определена на выпуклом и открытом множестве , пусть существуют частные производные второго порядка

,

тогда:

· функция будет строго выпукла вниз на множестве D, если для любого :

,

· функция будет строго выпукла вверх на множестве D, если для любого :

.

Пример. Задана функция . Исследовать функцию на выпуклость в области Вычислим производные, необходимые для проверки условий теоремы: ,   , , . Таким образом, A и B в исследуемой области имеют различные знаки. Следовательно, функция z не обладает свойством выпуклости.