Локальный экстремум функции

Термины «максимум» и «минимум» функции нескольких переменных имеют тот же смысл, что и для функции одной переменной.

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство

; .

Теорема (необходимое условие экстремума).Если точка есть точка экстремума дифференцируемой функции , то частные производные и в этой точке равны нулю.

Следствие. Если точка соответствует экстремуму функции , то .

Определение. Точки, в которых обе частные производные первого порядка функции обращаются в нуль (), называются стационарными точками.

Замечание. Дифференцируемая функция может и не иметь экстремума в стационарной точке.

Теорема (достаточное условие экстремума).Пусть в стационарной точке функция имеет непрерывные частные производные второго порядка

Тогда функция имеет в точке экстремум, если

,

причём,

· если — максимум,

· если — минимум.

Если , то функция экстремума не имеет,

если , то теорема ответа на вопрос о наличии экстремумов не даёт.

Пример. Найти экстремум функции. · Найдём частные производные и : · Решим систему уравнений и найдём стационарные точки функции z Получим две точки и . · Найдём частные производные второго порядка и вычислим их значения в каждой из стационарных точек: · Проверим достаточное условие экстремума. а) Рассмотрим точку Поэтому в точке функция экстремума не имеет. б) Рассмотрим точку . Таким образом, функция в точке имеет экстремум. Так как , то в точке - минимум.