Предел и непрерывность

Функции нескольких переменных

Основные понятия

Определение. Если каждому значению переменных из некоторого множества соответствует одно определённое значение переменной величины , то говорят, что задана функция нескольких переменных

Также как и в случае функции одной переменной называются независимыми переменными или аргументами, - зависимой переменной, множество - областью определения функции.

Очевидно, что функция, удовлетворяющая данному определению является однозначной.

Пример. Найти область определения функции двух переменных . Функция принимает действительные значения при переменных , удовлетворяющих системе: , или . Первому неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих внутри и на окружности ; второму неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащие внутри параболы ; пересечение этих областей задает область определения функции z (Рис. 21).     Рис. 21

Определение. Графиком функции n переменных называется множество точек принадлежащих пространству , таких что:

.

Графиком функциидвух переменных является множество точек трёхмерного пространства , образующее некоторую поверхность в .

График функции трёх и более переменных изобразить наглядно уже не возможно. Поэтому для изучения поведения функции многих переменных используют специальные приёмы и понятия. Важнейшими из них являются линии (поверхности) уровня.

Определение. Линией уровня функции двух переменных называется множество точек плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции постоянно, т.е. . Число называется уровнем.

Известным примером линий уровня являются параллели и меридианы на глобусе. Это линии уровня функций широты и долготы.

Если рассматривается функция большего чем двух, числа переменных, то говорят уже о поверхностях уровня.

Пример. Для функции построить линии уровня. Рассмотрим , тогда , т.е.линии уровня для данной функции — концентрические окружности.

Предел и непрерывность

Все свойства пределов и свойства бесконечно малых, которые были сформулированы для функции одной переменной, переносятся на функции нескольких переменных.

Для наглядности изложения будем рассматривать функцию двух переменных , хотя все исказанное останется справедливым и для функции большего числа переменных.

Определение. Число называется пределом функции в точке (при и ), если для любого существует число такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние, меньшее, чем , выполняется неравенство

.

Предел функции двух переменных записывается как: .

Пример. Вычислить предел . Перепишем функцию в виде: . Введём новую переменную . Так как при и , то имеем: . Кроме того, , поэтому . Пример. Существует ли ? Пусть точка стремится к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим: . Таким образом, приближаясь к точке по различным прямым, соответствующим различным значениям , получаем разные значения предела. Отсюда следует, что предел функции в точке не существует.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если

причем точка (x,y) стремится к точке (x₀,y₀) произвольным образом.

Как было указано ранее, важным классом непрерывных функций одной переменной являются функции, непрерывные на отрезках. Они обладают рядом отличительных свойств. Аналогичные свойства имеют место и для непрерывных функций переменных, если их рассматривать в областях некоторого специального вида. Для того чтобы сформулировать эти свойства, необходимо ввести ряд определений.

Определение. Если = и = точки пространства , то - есть расстояние между этими точками.

Определение. - окрестностью точки называется множество точек , таких что расстояние от этих точек до точки всегда меньше , т.е. .

Определение. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки полностью принадлежащая множеству , т.е. .

Определение. Множество всех внутренних точек множества называется внутренностью множества и обозначается .

Определение. Множество, целиком состоящее из внутренних точек, называется открытым.

Определение. Точка называется граничной точкой множества , если для любого существует -окрестность точки , котораясодержит точки как принадлежащие множеству так и не принадлежащие ему.

Определение. Множество всех граничных точек множества называется границей множества .

Определение. Открытоемножество, содержащее свою границу, называется замкнутым.

Определение. Множество называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек этого множества.

Пример. Множество точек, принадлежащих кругу – связное множество. Множество точек, принадлежащих двум непересекающимся кругам и - не связное множество.

Определение. Связное открытое множество называется областью.

Определение. Связное замкнутое множество называется замкнутой областью.

Определение. Область, целиком лежащая в некоторой -окрестности точки , называется ограниченной.

Базируясь на данных определениях, можно сформулировать теоремы для непрерывных функций двух переменных.

Теорема. Если функция z = f(x, y) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка (x₁, y₁), такая, что для остальных точек области верно неравенство

f(x₁, y₁) ³ f(x, y)

а также точка (x₂, y₂), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x₂, y₂) £ f(x, y)

тогда f(x₁, y₁) = M – наибольшее значение функции, а f(x₂, y₂) = m – наименьшее значение функции f(x, y) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере одного наибольшего и одного наименьшего значения.

Теорема. Если функция z = f(x, y) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки c Î [ m, M ] существует точка N₀(x₀, y₀) такая, что f(x₀, y₀) = c.

Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция f(x, y) по крайней мере один раз обращается в ноль.

Теорема. Функция z = f(x, y), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство .

Аналогичную формулировку имеют теоремы для функций большего, чем двух, числа переменных.