Частные производные и дифференциалы функции

Рассмотрим функцию . Придадим переменной приращение , а переменной — приращение . Тогда функция примет новое значение . Величина называется полным приращением функции в точке .

Если придать приращение только переменной или только переменной , то получим частные приращения функции:

,

.

Определение. Если существует конечный предел

то он называется частной производной по переменной (по переменной ).

Частную производную обозначают или ( или ).

Замечание. Поскольку частная производная функции многих переменных является обычной производной функции одной переменной, то она обладает всеми свойствами производных, которые были сформулированы ранее.

Пример. Найти частные производные функции . При нахождении частной производной по считаем постоянным: . Аналогично при нахождении частной производной по : .

Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих переменных, то есть

или .

Определение. Произведение частной производной на произвольное приращение аргумента называется частным дифференциалом по функции и обозначается как

.

Аналогично определяется частный дифференциал по :

.

Таким образом, полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов

.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точк е , если её полное приращение в этой точке может быть представлено в следующем виде:

или

где — бесконечно малые функции при .

Отсюда следует, что полный дифференциал функции нескольких переменных, так же как и в случае функции одной переменной, представляет собой главную линейную относительно и часть полного приращения функции в точке :

.

Для функции произвольного числа переменных полный дифференциал имеет вид:

.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по обеим независимым переменным:

, .

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Пусть функция определена в -окрестности точки . Если при этом существуют частные производные и для любого , причем и непрерывны в точке , тогда функция дифференцируема в точке .

Пример. Найти полный дифференциал функции в точке при . Найдём частные дифференциалы: Следовательно, . Тогда: