Однородные и неоднородные уравнения Эйлера

Уравнением Эйлера называют линейное уравнение с переменными коэффициентами вида: , где - постоянные числа; – заданная функция.

Уравнение Эйлера, как однородное, так и неоднородное, приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимой переменной = , если > 0, , если < 0.

Рассмотрим метод на примере уравнения Эйлера 2-го порядка.

Пример 2.14. Найти общее решение неоднородного уравнения Эйлера: .

Решение. 1) Применяя подстановку = , получим линейное уравнение

. (2.11)

Его характеристическое уравнение имеет корни = =2. Составляем для (2.11) фундаментальную систему решений = , = и строим общее решение соответствующего однородного уравнения: .

2) Учитывая, что = , частное решение неоднородного уравнения (2.11) будем искать в виде = . Подставляя , , получим тождество, из которого легко вычислить . В таком случае, = .

3) Запишем общее решение уравнения (2.11) = = .

4) Выполняя обратную замену , получим решение исходного уравнения .

Ответ. Общее решение .

Задание 2.9. Решить уравнения Эйлера.

а) однородные:

Вар.	Уравнение	Вар.	Уравнение:
2.9.1.	.	2.9.9.	.
2.9.2.	.	2.9.10.	.
2.9.3.	.	2.9.11.	.
2.9.4.	.	2.9.12.	.
2.9.5.	.	2.9.13.	.
2.9.6.	.	2.9.14.	.
2.9.7.	.	2.9.15.	.
2.9.8.	.

б) неоднородные: