![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Уравнением Эйлера называют линейное уравнение с переменными коэффициентами вида: , где
- постоянные числа;
– заданная функция.
Уравнение Эйлера, как однородное, так и неоднородное, приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимой переменной =
, если
> 0,
, если
< 0.
Рассмотрим метод на примере уравнения Эйлера 2-го порядка.
Пример 2.14. Найти общее решение неоднородного уравнения Эйлера: .
Решение. 1) Применяя подстановку =
, получим линейное уравнение
. (2.11)
Его характеристическое уравнение имеет корни
=
=2. Составляем для (2.11) фундаментальную систему решений
=
,
=
и строим общее решение соответствующего однородного уравнения:
.
2) Учитывая, что =
, частное решение неоднородного уравнения (2.11) будем искать в виде
=
. Подставляя
,
,
получим тождество, из которого легко вычислить
. В таком случае,
=
.
3) Запишем общее решение уравнения (2.11) =
=
.
4) Выполняя обратную замену , получим решение исходного уравнения
.
Ответ. Общее решение .
Задание 2.9. Решить уравнения Эйлера.
а) однородные:
Вар. | Уравнение | Вар. | Уравнение: |
2.9.1. | ![]() | 2.9.9. | ![]() |
2.9.2. | ![]() | 2.9.10. | ![]() |
2.9.3. | ![]() | 2.9.11. | ![]() |
2.9.4. | ![]() | 2.9.12. | ![]() |
2.9.5. | ![]() | 2.9.13. | ![]() |
2.9.6. | ![]() | 2.9.14. | ![]() |
2.9.7. | ![]() | 2.9.15. | ![]() |
2.9.8. | ![]() |
б) неоднородные:
Вар. | Уравнение | Вар. | Уравнение |
2.9.16. | ![]() | 2.9.24. | ![]() |
2.9.17. | ![]() | 2.9.25. | ![]() |
2.9.18. | ![]() | 2.9.26. | ![]() |
2.9.19. | ![]() | 2.9.27. | ![]() |
2.9.20. | ![]() | 2.9.28. | ![]() |
2.9.21. | ![]() | 2.9.29. | ![]() |
2.9.22. | ![]() | 2.9.30. | ![]() |
2.9.23. | ![]() |
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 617 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!