Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Линейные дифференциальные уравнения

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Пусть задано однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами , и необходимо найти его общее решение.

Приведем алгоритм решения этой задачи:

1) Ищем фундаментальные решения уравнения в виде функций . Подставляя и её производные и в заданное уравнение, получаем, что числа должны быть корнями характеристического уравнения .

2). Находим корни характеристического уравнения , и строим фундаментальную систему решений (ФСР):

а) если , − действительные различные, ФСР образуют функции и ;

б) если , − действительные и равные, ФСР образуют функции и ;

в) если − комплексно сопряжённые, ФСР образуют функции и .

3). Имея ФСР, записываем общее решение заданного уравнения , где произвольные постоянные.

Если необходимо решить задачу Коши, то есть найти функцию , которая является решением дифференциального уравнения и удовлетворяет заданным начальным условиям , то подставляя условия , в выражения и , получаем систему линейных уравнений относительно для нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Решая её, находим решение задачи Коши.

Пример 2.1: Решить задачу Коши: , . Записать общее решение и соответствующее заданным начальным условиям частное решение.

Решение. 1) По заданному дифференциальному уравнению составляем характеристическое уравнение .

2) Находим корни характеристического уравнения .

3) Имея характеристические корни, составим ФСР = , = .

4) Имея ФСР, запишем общее решение дифференциального уравнения .

5) Из общего решения находим

.

6) Используя полученные выражения и , для заданных начальных условий получим систему из которой , .

7) Запишем частное решение (решение задачи Коши) .

Ответ. Общее решение: , частное решение: .

Пример 2.2. Решить задачу Коши , если . Записать общее решение и соответствующее заданным начальным условиям частное решение.

Решение. 1) Составляем характеристическое уравнение .

2) Найдём корни характеристического уравнения – , то есть имеем кратные корни.

3) Составляем ФСР = , = x · = x · .

4) Имея ФСР, запишем общее решение дифференциального уравнения = · + · = · + · .

5) Найдем .

6) Из системы , находим , .

6) Записываем частное решение , удовлетворяющее начальным условиям.

Ответ. Общее решение = · + · , частное решение .

Задание 2.1. Решить задачу Коши для уравнений.