![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений может быть использован метод вариации произвольных постоянных. Опишем его алгоритм на примере неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 2-го порядка.
1) Для заданного уравнения запишем соответствующее ему однородное дифференциальное уравнение
. (2.1)
2) Находим общее решение данного однородного уравнения: , где
и
– функции ФСР, а
и
– произвольные постоянные.
3) Заменим постоянные и
на функции
и
, причём так, что функция
будет уже решением неоднородного уравнения.
4) Найдём производную для функции
:
=
+
и потребуем
=0, (2.2)
то есть, чтобы производная имела такой же вид, как и при постоянных
и
.
5) Учитывая (2.2), найдём производную . Получаем
=
+
.
6) Подставив ,
и
в исходное уравнение и учитывая, что
и
являются решениями однородного уравнения, получаем ещё одно требование к функциям
и
=
. (2.3)
7) Из условий (2.2) и (2.3) составляем систему:
(2.4)
8) Из системы (2.4) нетрудно получить выражения: и
, которые затем интегрируем:
и
. (2.5)
В выражении (2.5) величины и
– произвольные постоянные.
9) Используя (2.5), то есть выражения для функций и
, записываем общее решение неоднородного уравнения:
. (2.6)
Из (2.6) следует, что общее решение неоднородного уравнения представляется в виде , где
– общее решение однородного уравнения (2.1), а функция
=
– частное решение неоднородного уравнения.
Пример 2.3. Решить задачу Коши ,
,
, применив метод вариации произвольных постоянных.
Решение: 1) Составляем характеристическое уравнение .
2) Характеристические корни уравнения: . ФСР:
и
. Составим общее решение однородного уравнения:
=
.
3) Составим систему: В нашем случае:
Из этой системы получаем
и
.
4) Вычислим: =
и
=
=
. Составим частное решение неоднородного уравнения
=
=
.
5) Составим общее решение неоднородного уравнения .
6) Для заданных начальных условий получаем ,
.
Ответ: Общее решение:
, частное решение:
.
Задание 2.3. Решить задачу Коши, применяя метод вариации произвольных постоянных.
Вар. | Уравнение | Начальные условия |
2.3.1 | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.2. | ![]() | ![]() |
2.3.3. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.4. | ![]() | ![]() |
2.3.5. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.6. | ![]() | ![]() |
2.3.7. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.8. | ![]() | ![]() |
2.3.9. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.10. | ![]() | ![]() |
2.3.11. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.12. | ![]() | ![]() |
2.3.13. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.14. | ![]() | ![]() |
2.3.15. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.16. | ![]() | ![]() |
2.3.17. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.18. | ![]() | ![]() |
2.3.19. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.20. | ![]() | ![]() |
2.3.21. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.22. | ![]() | ![]() |
2.3.23. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.24. | ![]() | ![]() |
2.3.25. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.26. | ![]() | ![]() |
2.3.27. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.28. | ![]() | ![]() |
2.3.29. | ![]() | ![]() ![]() ![]() |
2.3.30. | ![]() | ![]() |
2.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть записано в виде
, где
– общее решение неоднородного уравнения,
– общее решение соответствующего однородного уравнения,
– частное решение неоднородного уравнения. Если правая часть неоднородного уравнения имеет некоторый специальный вид, то частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов.
В данном пункте рассмотрим метод для уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида
, где
– действительные числа.
Общий алгоритм решения со специальной правой частью указанного вида следующий:
1) Находим корни характеристического уравнения
.
2) Если ни один из корней не совпадает с
(нерезонансный случай), то частное решение ищем в виде
, где
и
– неопределённые коэффициенты, подлежащие вычислению;
3) Так как функция должна быть решением заданного неоднородного уравнения, то вычислив
,
и подставив функцию
и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения коэффициентов
и
.
4) Если (случай резонанса):
4.1) , то частное решение ищем в виде
.
4.2) , то решение частное решение ищем в виде
.
Если , где каждая из функций
имеет указанный выше вид, то частное решение находят как сумму соответствующих частных решений
.
Пример 2.4. Решить уравнение: , применив метод неопределённых коэффициентов.
Решение: 1) Характеристические корни уравнения: =1. Общее решение однородного уравнения, соответствующего заданному уравнению:
=
=
.
2) Так как
=
, частное решение
ищем в виде
, где
– неопределённый коэффициент.
3) Находим производные: =
,
=
. Подставляя функцию
и её производные в заданное уравнение, получаем тождество
. Упрощая, получим равенство
, из которого находим значение
=
.
4) Записываем общее решение неоднородного уравнения =
+
.
Ответ. Общее решение: =
+
.
Пример 2.5. Решить уравнение: , применив метод неопределённых коэффициентов.
Решение: 1) Корни характеристического уравнения
. Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения
=
=
, где
и
– функции фундаментальной системы решений, а
и
– произвольные постоянные.
2) Так как , необходимо найти частные решения:
а) для правой части =
, при условии, что
ищем
=
;
б) для правой части =
, при условии, что
ищем
=
.
3) Подставляя функцию и её производные в уравнение с правой частью
, получаем тождество, из которого находим значение
=1.
4) Подставляя функцию и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим
=
,
=
.
5) Учитывая , запишем
=
+
.
Ответ. Общее решение: =
+
.
Задание 2.4. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.
Вар. | Уравнение | Вар. | Уравнение |
2.4.1. | ![]() | 2.4.16. | ![]() |
2.4.2. | ![]() | 2.4.17. | ![]() |
2.4.3. | ![]() | 2.4.18. | ![]() |
2.4.4. | ![]() | 2.4.19. | ![]() |
2.4.5. | ![]() | 2.4.20. | ![]() |
2.4.6. | ![]() | 2.4.21. | ![]() |
2.4.7. | ![]() | 2.4.22. | ![]() |
2.4.8. | ![]() | 2.4.23. | ![]() |
2.4.9. | ![]() | 2.4.24. | ![]() |
2.4.10. | ![]() | 2.4.25. | ![]() |
2.4.11. | ![]() | 2.4.26. | ![]() |
2.4.12. | ![]() | 2.4.27. | ![]() |
2.4.13. | ![]() | 2.4.28. | ![]() |
2.4.14. | ![]() | 2.4.29. | ![]() |
2.4.15. | ![]() | 2.4.30. | ![]() |
2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с правой частью вида
Алгоритм решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с правой частью вида такой же, как и для правой части вида неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с правой частью вида
:
1) частное решение неоднородного уравнения ищем в виде =
, если ни один из корней характеристического уравнения не совпадает с числом
, построенном по виду правой части неоднородного уравнения (нерезонансный случай);
2) если характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни и один из них совпадает с числом , то имеем резонансный случай и частное решение ищем в виде
=
.
Значения «неопределённых коэффициентов» и
вычисляем способом, изложенным в п.2.4 и ниже в примерах.
Пример 2.6. Решить уравнение: , применив метод неопределённых коэффициентов.
Решение. 1) Характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни =
,
=
. Общее решение однородного уравнения
=
=
.
2) Запишем правую часть исходного уравнения в виде
. Ей соответствует число
. Так как
, то имеем резонансный случай и частное решение
ищем в виде
=
.
3) Найдем производные =
,
=
. Подставляя функцию
и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения
=3,
=1. Это значит, что
=
.
4) Составим общее решение неоднородного уравнения .
Ответ. Общее решение =
+
.
Пример 2.7. Решить уравнение , применив «метод неопределённых коэффициентов».
Решение. 1) Характеристические корни уравнения =
,
=
. Общее решение соответствующего однородного уравнения
=
=
.
2) Так как =
, частное решение
ищем в виде
=
, где
и
подлежат вычислению.
3) Найдем производные =
,
=
. Подставляя функцию
и её производные в заданное уравнение, получаем тождество, из которого находим значения
,
. Это значит, что
=
4) Составим общее решение неоднородного уравнения .
Ответ. Общее решение:
.
Задание 2.5. Решить уравнения, применяя метод неопределённых коэффициентов.
Вар. | Уравнение | Вар. | Уравнение: |
2.5.1. | ![]() | 2.5.16. | ![]() |
2.5.2. | ![]() | 2.5.17. | ![]() |
2.5.3. | ![]() | 2.5.18. | ![]() |
2.5.4. | ![]() | 2.5.19. | ![]() |
2.5.5. | ![]() | 2.5.20. | ![]() |
2.5.6. | ![]() | 2.5.21. | ![]() |
2.5.7. | ![]() | 2.5.22. | ![]() |
2.5.8. | ![]() | 2.5.23. | ![]() |
2.5.9. | ![]() | 2.5.24. | ![]() |
2.5.10. | ![]() | 2.5.25. | ![]() |
2.5.11. | ![]() | 2.5.26. | ![]() |
2.5.12. | ![]() | 2.5.27. | ![]() |
2.5.13. | ![]() | 2.5.28. | ![]() |
2.5.14. | ![]() | 2.5.29. | ![]() |
2.5.15. | ![]() | 2.5.30. | ![]() |
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 1365 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!