Применение дифференциальных уравнений 2-го порядка для решения физических задач

Указание 1. В задачах 2.8.4 и далее при расчёте силы тяжести (или электростатической силы), действующей на тело внутри другого тела учитывать, что благодаря закону обратных квадратов ускорение свободного падения (напряжённость электростатического поля) в точке, находящейся внутри сферически симметричного тела на расстоянии от его центра, не зависит от массы (заряда), находящейся снаружи сферы радиуса .

Указание 2. В задачах, где рассматривается вращение с постоянной угловой скоростью, учесть, что для использования 2-го закона Ньютона во вращающейся с постоянной угловой скоростью системе отсчёта к реальным силам, действующим на материальную точку, нужно добавить также центробежную силу ( – расстояние от материальной точки до оси вращения), а также силу Кориолиса , где – скорость тела относительно вращающейся системы отсчёта.

Пример 2.13. В диэлектрическом шаре радиусом , заряженном равномерно по объёму с плотностью , просверлено сквозное диаметральное отверстие. В этом отверстии движется непроводящий стержень длиной с закреплёнными на его концах зарядами и в изолированной оболочке (рис.2.2). Общая масса стержня с зарядами равна , в момент времени середина стержня находилась в центре шара, скорость была равна нулю. Найти зависимость от времени отклонения середины стержня от центра. Постоянная закона Кулона , трением о стенки отверстия, сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. 1) На заряды и действуют электростатические силы и соответственно со стороны распределённых по объёму зарядов в шаре (см.рис.2.2), взаимодействие зарядов и между собой компенсируется упругими силами стержня, соединяющего их, и не влияет на движение стержня с зарядами. Уравнение II закона Ньютона для стержня будет иметь вид

, (2.7)

где – радиус-вектор середины стержня. Направим ось x из центра шара в сторону заряда , тогда и – координаты зарядов и . В соответствии с законом обратных квадратов, напряжённость электрического поля, создаваемого зарядами шара, в точке нахождения заряда зависит только от заряда, находящегося внутри сферы, проходящей через (на рисунке показана штриховой линией). Таким образом, для проекции силы на ось x получим:

,

где – сумма зарядов шара, находящихся внутри сферы радиуса . Поскольку , то

. (2.8)

Аналогично, для проекции силы на ось x имеем:

. (2.9)

Подставляя (2.8) и (2.9) в проекцию уравнения (2.7) на ось x и учитывая соотношения

, ,

получим дифференциальное уравнение

. (2.10)

2) Уравнение (2.10) линейное неоднородное с постоянными коэффициентами. Его общее решение

.

Из начальных условий найдём, что , поэтому искомая зависимость будет иметь вид

.

Ответ. .

2.8.1. Один конец пружины жёсткостью закреплён неподвижно, а к другому прикреплён груз массой . При движении груз испытывает силу сопротивления внешней среды, пропорциональную скорости с коэффициентом пропорциональности . При грузу, находившемуся в положении равновесия, сообщена скорость . Найти зависимость отклонения груза от положения равновесия от времени для случая .

Ответ. .

2.8.2. Решить задачу 2.8.1 при и дополнительном условии, что на груз действует внешняя периодическая сила .

Ответ.

2.8.3. На конце упругого стержня укреплена масса . Другой конец стержня вибрирует так, что его смещение в момент равно . Упругая сила, возникающая в стержне, пропорциональна разности смещений его концов с коэффициентом . Найти амплитуду вынужденных колебаний массы . Может ли быть ? Массой стержня и трением пренебречь.

Ответ. ; может.

2.8.4. На одном из астероидов радиусом обнаружен сквозной прямолинейный канал, проходящий через центр астероида. В этот канал в момент с поверхности было брошено без начальной скорости тело. Считая плотность астероида постоянной, найти зависимость отклонения тела от центра астероида. Гравитационная постоянная , трением о стенки канала, сопротивлением атмосферного газа и вращением астероида пренебречь.

Ответ. .

2.8.5. Решить задачу 2.8.4 с учётом силы сопротивления атмосферного газа, которое пропорционально скорости тела; коэффициент пропорциональности считать не зависящим от глубины и равным .

Ответ. .

2.8.6. На некотором астероиде радиусом обнаружен сквозной прямолинейный канал, минимальное расстояние от которого до центра астероида равно . В этот канал в момент с поверхности было брошено без начальной скорости тело. Считая плотность астероида постоянной, найти зависимость отклонения тела от наиболее глубокой точки канала внутри астероида. Гравитационная постоянная , трением о стенки канала, сопротивлением атмосферного газа и вращением астероида пренебречь.

Ответ. .

2.8.7. Решить задачу 2.8.6 с учётом силы трения скольжения о стенки канала, коэффициент которого считать постоянным и равным . Рассмотреть случай движения от поверхности в сторону наиболее глубокой точки канала.

Ответ. .

2.8.8. На некотором астероиде радиусом обнаружен сквозной прямолинейный канал, проходящий через центр астероида и перпендикулярный оси вращения астероида. В этот канал в момент с поверхности было брошено без начальной скорости тело. Считая плотность астероида постоянной, найти зависимость отклонения тела от центра астероида, если угловая скорость вращения астероида равна . Гравитационная постоянная , трением о стенки канала и сопротивлением атмосферного газа пренебречь.

Ответ. .

2.8.9. Решить задачу 2.8.8. с учётом силы трения скольжения о стенки канала, коэффициент которого считать постоянным и равным . Рассмотреть случай движения от поверхности в сторону центра; считать, что .

Ответ. , где , .

2.8.10. Решить задачу 2.8.9 в случае, когда .

Ответ. .

2.8.11. На одном из астероидов радиусом обнаружен сквозной прямолинейный канал, перпендикулярный оси вращения астероида и проходящий через неё. Минимальное расстояние от канала до центра астероида равно . В этот канал в момент с поверхности было брошено без начальной скорости тело. Считая плотность астероида постоянной, найти зависимость отклонения тела от наиболее глубокой точки канала внутри астероида, если угловая скорость вращения астероида равна . Рассмотреть случай движения от поверхности в сторону центра. Гравитационная постоянная , трением о стенки канала, сопротивлением атмосферного газа пренебречь.

Ответ. .

2.8.12. В диэлектрическом шаре радиусом , заряженном равномерно по объёму с плотностью , просверлено сквозное диаметральное отверстие. С одной стороны в это отверстие влетает со скоростью пылинка массой и зарядом того же знака, что и заряд шара. Найти зависимость от времени отклонения пылинки от центра шара. Постоянная закона Кулона , трением о стенки отверстия, сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ. .

2.8.13. Решить задачу 2.8.12 с учётом силы сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости пылинки с коэффициентом .

Ответ. .

2.8.14. В диэлектрическом шаре радиусом , заряженном равномерно по объёму с плотностью , просверлено сквозное диаметральное отверстие. В это отверстие попадает у поверхности шара с нулевой скоростью маленькая крупинка массой и отрицательным зарядом , покрытая сверху непроводящей оболочкой. Найти зависимость от времени отклонения крупинки от центра шара. Постоянная закона Кулона , трением о стенки отверстия, сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ. .

2.8.15. Решить задачу 2.8.14 с учётом силы сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости крупинки с коэффициентом . Считать, что .

Ответ. .

2.8.16. На одном из астероидов радиусом обнаружен сквозной прямолинейный канал, параллельный оси вращения астероида и отстоящий на расстоянии от неё. В этот канал в момент с поверхности было брошено без начальной скорости тело. Считая плотность астероида постоянной, найти зависимость отклонения тела от наиболее глубокой точки канала внутри астероида, если угловая скорость вращения астероида равна . Гравитационная постоянная , трением о стенки канала, сопротивлением атмосферного газа пренебречь.

Ответ. .

2.8.17. Решить задачу 2.8.16 с учётом трения скольжения между телом и стенками канала, коэффициент которого считать постоянным и равным . Рассмотреть случай движения от поверхности в сторону наиболее глубокой точки канала; считать, что .

Ответ. .

2.8.18. На одном из астероидов радиусом пробурена прямолинейная скважина до его центра, составляющая с осью вращения астероида угол . В эту скважину в момент с поверхности было брошено без начальной скорости тело. Считая плотность астероида постоянной, найти зависимость расстояния тела до центра астероида, если угловая скорость вращения астероида равна . Гравитационная постоянная , трением о стенки канала, сопротивлением атмосферного газа пренебречь.

Ответ. .

2.8.19. В диэлектрическом шаре радиусом , заряженном равномерно по объёму с плотностью , просверлено сквозное диаметральное отверстие. В этом отверстии движется непроводящий стержень длиной с закреплёнными на его концах зарядами и в изолированной оболочке. Общая масса стержня с зарядами равна , в момент времени второй заряд находился в центре шара, скорость была равна нулю. Найти зависимость от времени расстояния середины стержня от центра шара до выхода первого заряда из отверстия в шаре. Постоянная закона Кулона , трением о стенки отверстия, сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ. .

2.8.20. В диэлектрическом шаре радиусом , заряженном равномерно по объёму с плотностью , просверлено сквозное диаметральное отверстие. В этом отверстии движется непроводящий стержень длиной с закреплёнными на его концах зарядами в изолированной оболочке. Общая масса стержня с зарядами равна , в момент времени середина стержня находилась на расстоянии от центра шара, скорость была равна нулю. Найти зависимость от времени расстояния середины стержня от центра шара до выхода первого заряда из отверстия в шаре. Постоянная закона Кулона , трением о стенки отверстия, сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ. .

21. Стержень длиной вращается вокруг перпендикулярной ему оси, проходящей через его середину, с угловой скоростью . По стержню скользит без трения узкое кольцо. Найти закон изменения расстояния от кольца до оси вращения, если в начальный момент оно было равно , а скорость кольца относительно стержня была равна нулю. Найти скорость относительно земли, которую будет иметь кольцо в момент соскальзывания со стержня.

Ответ. .