![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть дана случайная величина и проведено
независимых испытаний этой величины, в результате чего получены значения
,
, …,
. Такое множество называют статистической совокупностью.
Положим ,
и разделим отрезок
на
равных частей
,
, …,
. Пусть
– количество элементов статистической совокупности, принадлежащих
.
Поставим следующий вопрос: насколько вероятно предположение о том, что данная случайная величина распределена по дифференциальному закону
?
Этот вопрос решают обычно следующим образом. Предполагают, что распределена по закону
. Тогда событие, состоящее в том, что результаты
ее испытаний окажутся распределенными по интервалам
,
, …,
с помощью чисел
,
, …,
, имеет некоторую вероятность
, зависящую главным образом от гипотетического распределения
. Если эта вероятность окажется малой, то высказанную гипотезу (о распределении
по закону
) следует опровергнуть. Если же вероятность
окажется близкой к 1, то отвергать гипотезу нет оснований.
Наряду с понятием статистической совокупности используют понятие статистического ряда. Если расположить интервалы в порядке возрастания их центров
и для каждого интервала указать
, то получится статистический ряд. Статистический ряд гораздо более удобен для исследований, чем статистическая совокупность.
Уточнение поставленной задачи заключается в следующем. Каждому интервалу соответствует вероятность
того, что случайная величина
примет значение в этом интервале (теоретическая вероятность, которая равна
), а также частота наступления этого события в серии из
испытаний, равная
(эмпирическая вероятность того, что
примет значение в
).
Если сделанная гипотеза справедлива, то в силу закона больших чисел отклонения малы при большом количестве испытаний
.
Для выполнения описанной в общих чертах программы проверки гипотезы необходимо уметь вычислять вероятности того или иного отклонения набора теоретических частот от набора эмпирических частот
.
Оказывается, что существуют такие функции от случайных величин ,
, …,
, распределение которых не зависит ни от гипотетического распределения
, ни от количества испытаний
, если только оно велико. Среди таких функций чаще других рассматривают функцию:
. (1)
Как установлено американским математиком К. Пирсоном, случайная величина при больших
распределена по дифференциальному закону:
(2)
где – гамма функция.
Функция табулирована.
Тот факт, что величина распределена по закону (2), позволяет вычислить вероятность того, что случайная величина
принадлежит тому или другому интервалу.
Интерес представляют интервалы и
. В случае хорошего совпадения теоретических и эмпирических частот величина
не будет принимать слишком больших значений. Поэтому вероятности
в случае справедливости гипотезы должны быть малы при больших
.
Можно задать некоторую малую вероятность и найти
такое, что
. При этом естественно считать, что в случае, когда полученное из опыта значение
будет больше, чем
, гипотезу следует признать противоречащей опытным данным, в противном случае – непротиворечащей им. В первом случае говорят, что гипотеза несостоятельна на уровне значимости
.
Иногда поступают так. Вычисляют по формуле (1) , а затем по таблицам находят вероятность того, что случайная величина
превзойдет значение
. Если вероятность такого события мала (это значит, что
неправдоподобно велико), то гипотеза опровергается.
Параметр в формуле (2) находится из соотношения
, (3)
где – количество интервалов
,
– количество связей, налагаемых на эмпирические частоты
.
Чаще всего (
) или
(условия на математическое ожидание и дисперсию).
Распределение называют
– распределением с
степенями свободы, а изложенный способ проверки гипотез –
– критерием Пирсона.
Пример.
Пусть результаты 50 испытаний дали следующее распределение значений величины по интервалам:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() |
Проверить гипотезу о равномерном распределении случайной величины на отрезке
.
Решение.
,
,
,
,
.
.
По формуле (1) ,
. По таблице находим, что
, следовательно, гипотеза опровергается при уровне значимости более
.
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 169 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!