О статистической проверке гипотез

Пусть дана случайная величина и проведено независимых испытаний этой величины, в результате чего получены значения , , …, . Такое множество называют статистической совокупностью.

Положим , и разделим отрезок на равных частей , , …, . Пусть – количество элементов статистической совокупности, принадлежащих .

Поставим следующий вопрос: насколько вероятно предположение о том, что данная случайная величина распределена по дифференциальному закону ?

Этот вопрос решают обычно следующим образом. Предполагают, что распределена по закону . Тогда событие, состоящее в том, что результаты ее испытаний окажутся распределенными по интервалам , , …, с помощью чисел , , …, , имеет некоторую вероятность , зависящую главным образом от гипотетического распределения . Если эта вероятность окажется малой, то высказанную гипотезу (о распределении по закону ) следует опровергнуть. Если же вероятность окажется близкой к 1, то отвергать гипотезу нет оснований.

Наряду с понятием статистической совокупности используют понятие статистического ряда. Если расположить интервалы в порядке возрастания их центров и для каждого интервала указать , то получится статистический ряд. Статистический ряд гораздо более удобен для исследований, чем статистическая совокупность.

Уточнение поставленной задачи заключается в следующем. Каждому интервалу соответствует вероятность того, что случайная величина примет значение в этом интервале (теоретическая вероятность, которая равна ), а также частота наступления этого события в серии из испытаний, равная (эмпирическая вероятность того, что примет значение в ).

Если сделанная гипотеза справедлива, то в силу закона больших чисел отклонения малы при большом количестве испытаний .

Для выполнения описанной в общих чертах программы проверки гипотезы необходимо уметь вычислять вероятности того или иного отклонения набора теоретических частот от набора эмпирических частот .

Оказывается, что существуют такие функции от случайных величин , , …, , распределение которых не зависит ни от гипотетического распределения , ни от количества испытаний , если только оно велико. Среди таких функций чаще других рассматривают функцию:

. (1)

Как установлено американским математиком К. Пирсоном, случайная величина при больших распределена по дифференциальному закону:

(2)

где – гамма функция.

Функция табулирована.

Тот факт, что величина распределена по закону (2), позволяет вычислить вероятность того, что случайная величина принадлежит тому или другому интервалу.

Интерес представляют интервалы и . В случае хорошего совпадения теоретических и эмпирических частот величина не будет принимать слишком больших значений. Поэтому вероятности в случае справедливости гипотезы должны быть малы при больших .

Можно задать некоторую малую вероятность и найти такое, что . При этом естественно считать, что в случае, когда полученное из опыта значение будет больше, чем , гипотезу следует признать противоречащей опытным данным, в противном случае – непротиворечащей им. В первом случае говорят, что гипотеза несостоятельна на уровне значимости .

Иногда поступают так. Вычисляют по формуле (1) , а затем по таблицам находят вероятность того, что случайная величина превзойдет значение . Если вероятность такого события мала (это значит, что неправдоподобно велико), то гипотеза опровергается.

Параметр в формуле (2) находится из соотношения

, (3)

где – количество интервалов ,

– количество связей, налагаемых на эмпирические частоты .

Чаще всего () или (условия на математическое ожидание и дисперсию).

Распределение называют – распределением с степенями свободы, а изложенный способ проверки гипотез – – критерием Пирсона.

Пример.

Пусть результаты 50 испытаний дали следующее распределение значений величины по интервалам:

Проверить гипотезу о равномерном распределении случайной величины на отрезке .

Решение.

, , , , .

.

По формуле (1) ,

. По таблице находим, что , следовательно, гипотеза опровергается при уровне значимости более .