Оценки математического ожидания

Найдем сначала точечную оценку математического ожидания. Пусть исследуется некоторая случайная величина , в результате испытаний получены значения этой величины , , …, . Рассмотрим попарно независимые случайные величины , , …, , распределения которых совпадают с распределением и каждая определена соответствующим .

По условию

, .

По теореме Чебышева всякое значение случайной величины с большой вероятностью близко к . Отсюда

. (1)

Число называется средней статистической. Оценка (1) является точечной, она тем точнее, чем больше . Однако какой-либо информации о количественной мере точности и о том, как эта мера зависит от , формула (1) не дает.

Более глубокий подход к оценке математического ожидания состоит в следующем. В силу центральной предельной теоремы случайная величина при больших имеет нормальное распределение с параметрами

, . (2)

Можно доказать, что если распределена нормально, то справедливо соотношение

. (3)

Обозначив число (*), с учетом (2), получим

. (4)

Получили, что вероятность того, что значение случайной величины , т.е. отличается от искомого значения меньше, чем на , равна ( – функция Лапласа).

Если параметр известен, то равенство (4) определяет интервал , т.е. , в котором с вероятностью заключено подлежащее оценке математическое ожидание величины , .

В этом случае говорят об интервальной оценке математического ожидания. Интервал называют доверительным интервалом ( – произвольное число), а вероятность – доверительной вероятностью, соответствующей данному доверительному интервалу ( иногда называют надежностью ).

Разумеется, чем больше взят доверительный интервал, тем больше доверительная вероятность. Увеличивая же число испытаний можно увеличить доверительную вероятность , приблизив ее как угодно близко к 1 для любого (даже очень малого) интервала .

Из соотношений (4), (*) можно вычислить по заданным , , , т.е. решить задачу о нахождении такого числа испытаний, чтобы данному доверительному интервалу соответствовала данная доверительная вероятность.

Пример 5.

Случайная величина со средним квадратическим отклонением испытывается 20 раз. Оценить ее математическое ожидание, если результаты испытаний таковы:

№

№

Решение.

Вычислим точечную оценку математического ожидания этой величины

.

Найдем теперь вероятность того, что математического ожидание будет находиться в пределах .

Имеем

; ; ; .

.

.

Ответим еще на такой вопрос: каков должен быть интервал, чтобы искомое математическое ожидание находилось в нем с вероятностью ?

Имеем

; ; ; ; ;

.

.

с вероятностью 0,99.