Оценки дисперсии

Для нахождения точечной оценки дисперсии можно вычислить среднее арифметическое квадратов отклонений значений от среднего статистического :

. (5)

На первый взгляд при больших это число должно быть хорошим приближением неизвестной дисперсии величины . Однако оказывается, что число

(6)

дает лучшее приближение неизвестной дисперсии (хотя при больших и мало отличаются).

Можно доказать, что математическое ожидание случайной величины равно (в предположении, что величины независимы и одинаково распределены). Если же вычислить математическое ожидание случайной величины , то получится . Указанные факты и являются основными аргументами в пользу того, чтобы считать оценку дисперсии (6) более удачной.

Рассматривают также интервальную оценку дисперсии, указывая для каждого интервала вероятность , с которой искомая дисперсия принадлежит этому интервалу. Обычно удобнее оценивать не саму дисперсию, а среднее квадратическое отклонение:

, ,

,

.

Положив , получим оценку

.

Значение определяется из довольно сложного интегрального уравнения. На практике для отыскания значения по данным значениям и пользуются таблицами.

Заметим, что в задаче об интервальной оценке математического ожидания в случае неизвестной величины допустимо взять в качестве число , где – точечная оценка дисперсии, выражаемая формулой (6).

2.7 Общие замечания об оценке параметров
статистического распределения

Рассмотрим кратко общий вопрос об оценке параметров статистического распределения. Оценкой какого-либо параметра распределения по опытным данным является значение некоторой функции от результатов испытаний , , …, . Для того, чтобы эта оценка была разумной (приемлемой), функция должна обладать некоторыми свойствами, а именно эффективностью, состоятельностью и несмещенностью.

1. Оценка параметра называется состоятельной, если

.

2. Оценка параметра называется несмещенной, если .

3. Оценка – эффективна, если минимальна.

Замечание. Оценка (1) состоятельна и несмещена. Она также эффективна для нормально распределенной случайной величины .

Оценки (5) и (6) состоятельны, но не являются эффективными. (5) также не является несмещенной в отличие от (6).

2.8 Оценка параметров статистического распределения
с точки зрения генеральной совокупности и выборки

Решение задачи об оценке математического ожидания и дисперсии можно сформулировать, используя понятия генеральной совокупности и выборки.

Пусть дано большое количество элементов, каждый из которых характеризуется некоторым числом , . Как известно, такое множество называют генеральной совокупностью ( – объем генеральной совокупности).

Число называется средней генеральной, а число – генеральной дисперсией.

Фактическое вычисление и часто оказывается невозможным вследствие того, что объем генеральной совокупности очень велик. Тогда из генеральной совокупности делают сравнительно небольшую по объему выборку. Выборка производится случайным образом, т.е. для каждого элемента генеральной совокупности вероятность попасть в выборку равна , так что все элементы имеют равные вероятности и последовательность испытаний независима.

Таким образом, возникает задача об оценке параметров и по выборочным данным. Она является частным случаем описанной выше задачи об оценке параметров распределения по результатам испытаний: достаточно рассматривать испытание как выбор одного элемента из генеральной совокупности. Обозначим элементы выборки через , , …, . Тогда имеем оценки:

, (7)

– средняя выборочная;

, (8)

– выборочная дисперсия;

, (9)

,

( находят по заданным значениям и – надежности).

Пример 6.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности.

Решение.

.

, .

, ,

,

.

Т.к. и не определено, определяем из таблицы: .

,

с .

Пример 7.

По данным выборки объема из генеральной совокупности найдено исправленное среднее квадратическое отклонение нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с вероятностью 0,95.

Решение.

, , , ,

.