Пример 5.8

Непрерывная система характеризуется передаточной функцией. Период работы импульсного элемента

.

Определить параметры цифрового регулятора, обеспечивающего оптимальный переходной процесс (рис.5.17).

Из схемы моделирования запишем расширенный вектор состояния

.

Учитывая, что на вход подается ступенчатое воздействие, имеем систему дифференциальных уравнений

по которым определяем расширенную матрицу коэффициентов

.

Находим обратную матрицу для выражения

;

Определим переходную матрицу во временной области, т.е. применяем обратное преобразование Лапласа к последнему выражению. Так как период прерывания известен, то матричная функция преобразуется в числовую матрицу при подстановке

,

где – неопределенный пока коэффициент усиления регулятора на интервалах дискретности.

Далее записываем уравнения переходных состояний системы

по которой определяем матрицу

.

По вектору начального состояния

и выражению (5-38) определяем вектора в конце первого интервала дискретности. Учитывая ассоциативность матриц, получим

В начале второго интервала дискретности некоторые координаты вектора скачком меняют свое значение. Переход от вектора к вектору осуществляется матрицей перехода

.

Имея вектор , находим его состояние в конце второго интервала дискретности . Причем, на этом интервале состояние вектора будет зависеть от двух неопределенных пока коэффициентов и

Учитывая требования к системе регулирования ; из последнего выражения запишем систему алгебраических уравнений решение

которой определяет коэффициенты и усиления цифрового регулятора на двух интервалах дискретности. (Pr_2_6_02 alu)

В пакете Simulink (раздел Math) имеется блок Algebraic Constraint, предназначенный для определения корней алгебраических уравнений. Совместное использование нескольких таких блоков (рис.5.18) обеспечивает решение системы алгебраических уравнений.

Рис.5.18. Структурная схема модели решения алгебраических уравнений в пакете Simulink

Если исходные данные заданы в виде передаточной функции, то переход к модели пространства состояний можно выполнить двумя путями

Первый путь – по передаточной функции сначала определяем структурную схему модели, по которой затем вычисляем матрицы коэффициентов , , и . При этом следует учитывать, что переход от передаточной функции к схеме моделирования не однозначен: одной передаточной функции соответствует множество схем моделирования, которым будут соответствовать свои матрицы , , и .

Второй путь – использование команды ss из пакета Control System Toolbox. При применении этой команды MatLab сам выбирает базис, в котором определяются матрицы коэффициентов , , . Матрица командой ssне определяется. Для определения матрицы необходимо по матрицам коэффициентов , , , которые были определены командой ss, составить схему моделирования, из которой затем определяется матрица .

Проиллюстрируем это на конкретных примерах.