 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Пример 5.11
|
|
Рассмотрим нелинейную систему управления, описываемой передаточной функцией
, (5-46)
структурная схема которой приведена на рис.5.24.
Период прерывания 
. На вход системы в момент времени 
прикладывается ступенчатое воздействие с амплитудой 
. Требуется произвести расчет цифрового регулятора для получения максимального
быстродействия системы, если характеристика нелинейности имеет следующий вид (рис.5.25).
Исходя из структурной схемы (рис.5.24), определяем расширенный вектор состояния системы
.
и расширенную матрицу коэффициентов 
.
Матрица 
получена на основании связи фазовых координат при срабатывании импульсного элемента
Запишем фундаментальную матрицу в частотной области
и во временной области
.
Вектор начального состояния системы задан
.
При 
фундаментальная матрица превращается в матрицу, зависящую от 
. (5-47)
Для 
вектор 
определяется как
.
Из последнего вектора столбца находим, что
.
Поскольку 
больше максимального выхода нелинейного элемента, который равен 1, то
; 
.
Из (5-47) при 
определяем 
в конце первого интервала дискретности
.
Вектор состояния системы при 
.
В момент 
.
Откуда 
.
Так как 
больше максимального выхода нелинейного элемента, то
; 
.
С учетом 
из (5-47) получим значения 
.
Вектор состояния для 
(
) запишется как
.
Вектор состояния для 
запишется как
;
.
Так как амплитуда сигнала 
меньше уровня ограничения, то для определения константы 
необходимо привлечь другие условия максимального быстродействия.
Для 
получаем
.
.
Аналогично, для 
(
)
Как известно, переходной процесс в системе второго порядка заканчивается за два интервала. Условие окончания заключается в том, что 
, 
. Используя последнюю матрицу и вышеприведенные условия, получаем
Решая систему уравнений, находим
; 
.
Подставляя найденные значения в выражение (5-48) определяем
. (5-48)
Таким образом, сигнал 
в дискретные моменты времени 
принимает значение: 2; 1,632; 0,865; 0,210, а Z-изображение этой последовательности имеет вид
.
Изображение сигналов на выходе нелинейного элемента с учетом нелинейности и коэффициентов усиления и 
принимает вид
.
Так как характеристика нелинейности известна и на линейном участке нелинейной характеристики выполняются соотношения 
, то
.
Имея Z-изображения на выходе и входе цифрового регулятора, определяем его передаточную функцию
. (5-49)
С этим регулятором переходной процесс в системе заканчивается за четыре периода. Заметим, что при отсутствии нелинейности можно было бы в два раза увеличить быстродействие системы. Ввод нелинейного элемента типа насыщения приводит к более длительному переходному процессу.
На рис.5.26 с учетом передаточных функций (5-46) и (5-49) в пакете Simulink представлена схема моделирования. (ModUpr 05_08.mdl)
Рис.5.26. Схемы моделирования цифровых нелинейных систем 
В схеме рис.5.26,в в отличие от схемы рис.5.26,а, введен нелинейный элемент. Однако графики переходных процессов в этих системах одинаковы (рис.5.27). Это объясняется методикой расчета цифрового регулятора, которая основана, с одной стороны, на работе системы с максимально возможными сигналами (предельные значения кривой насыщения), а, с другой стороны, на исключении работы системы в зоне насыщения. Поэтому параметры регулятора, задающие коэффициенты усиления на каждом интервале дискретности таковы, что, при заданном уровне входного сигнала и при указанных характеристиках нелинейности, ни в одном из тактов система не входит в насыщение и поэтому нелинейный элемент может быть исключен из схемы моделирования. Этим объясняет эквивалентность переходных процессов для двух структурных схем.
Длительность переходных процессов в нелинейных системах зависит от амплитуды входных сигналов и характеристик нелинейностей. На нелинейную систему (рис.5.24) с нелинейным элементом (рис.5.25) подадим единичное воздействие и определим переходной процесс. Так как уравнения системы не изменились, то известен расширенный вектор состояния 
, а матрица коэффициентов и матрица перехода имеет тот же вид, что и для предыдущего примера.
Рис.5.27. Графики переходных процессов нелинейных цифровых систем при
(1 - выход систем регулирования, 2 - выходы регуляторов)
Вектор начального состояния системы равен
,
а вектор
.
Фундаментальная матрица при запишется как
.
Так как сигнал равен максимальному выходному сигналу нелинейного элемента, то
; 
.
Если из системы регулирования исключить нелинейность и рассчитывать регулятор методами линейной теории, то требуемое для оптимального управления значение 
. Это, однако, больше максимально возможного значения , которое в данной нелинейной системе при заданном уровне ограничения не может быть обеспечено. Уменьшение коэффициента усиления цифрового регулятора приводит к уменьшению энергии, подаваемой на объект, что автоматически увеличивает длительность переходного процесса.
Определим вектор состояния системы на момент 
, (начало второго интервала)
.
При 
система становится линейной и для определения констант 
и необходимо привлечь условия максимального быстродействия системы, используемые в линейных системах. Продолжая вычисления, получим:
Затем определяем вектор 
.
Затем определяем вектор 
Условия максимального быстродействия находим из условий 
; 
;
Решая эти уравнения относительно и , получим
; 
.
В результате последовательного определения векторов состояния определяем значения фазовой координаты 
– 1; 0,632; 0,154. Используя коэффициенты усиления 
, , и значения фазовой координаты на входе цифрового
Рис.5.28. Графики переходных процессов в нелинейной системе при (
)
регулятора, определяем значение фазовой координаты на его выходе 
– 1; 
; 
. Используя теорему о сдвиге решетчатых функций, определяем Z-передаточную функцию цифрового регулятора.
. (5-50)
В пакете Simulink, с учетом передаточной функции регулятора (5-50), была промоделирована система регулирования. Результаты моделирования представлены на рис.5.28. (ModUpr 05_09.mdl). Из примеров следует, что для нелинейной системы длительность переходного процесса (кривая 1) зависит от амплитуды воздействия и для последнего примера заканчивается за три интервала дискретности. При входном воздействии равном двум переходной процесс заканчивается за четыре интервала дискретности (рис.5.27).
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 285 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
