Пример 5.9

В примере 5.8 методом переменного коэффициента усиления из схемы моделирования структуры рис.5.15 определены матрицы , , , расширенный вектор состояния, а затем рассчитана система регулирования. В примере 5.9 проведем расчет той же системы, но матрицы и расширенный вектор состояния определены с использованием команды ss, которая сама выбрала базис. Pr_2_6_01.m

%Расчет дискретных систем методом переменного

%коэффициента усиления

h1=tf(10,[1,1,0]) %Исходные данные

h2=ss(h1) %Преобразование модели от формы TF к форме SS.

syms s K0 K1 %Ввод переменных для работы в пакете Symbolik

%Math Toolbox (аналитические

%преобразования). K0, К1 – коэффициенты

%усиления на тактах дискретности.

E=[s,0,0,0;0,s,0,0;0,0,s,0;0,0,0,s]; %Формирование диагональной

%единичной матрицы.

A=[0,0,0,0;0,-1,0,10*K0;0,1,0,0;0,0,0,0]; %Формирование матрицы

%коэффициентов.

%Последовательность операторов, определяющих

%фундаментальную матицу

KN=(E-A) %Определение матрицы разности.

VK=ilaplace(inv(KN)) %Применение обратного преобразования

%Лапласа к обращенной матрицы.

%Приведенные операторы определяют аналитическое

%выражение фундаментальной матрицы. При переводе

%фундаментальной матрицы в числовую надо конкретизировать

%текущее время. Из функциональной матрицы VK сформируем

%числовую матрицу VV.В матрице VV t=1.

VV=[1,0,0,0;0,0.368,0,6.32*K0;0,0.632,1,3.68*K0;0,0,0,1]

BB=[1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;1,0,-1,0]; %Матрица перехода

R=[1;0;0;0]; %Расширенный вектор начальных значений.

CC=VV*BB*R; %Выходные координаты системы в конце

%первого интервала дискретности

CCK0=BB*CC %Выходные координаты системы в конце

%первого интервала дискретности после

%срабатывания импульсного элемента.

%Фундаментальная матрица (VVK1) на втором интервале дискретности.

%К1-коэффициент усиления матрица (VVK1) на втором интервале.

VVK1=[1,0,0,0;0,0.368,0,6.32*K1;0,0.632,1,3.68*K1;0,0,0,1]

CCK1=VVK1*CCK0 %Выходные координаты системы в конце

%второго интервала дискретности.

%Из командного окна MATLAB выпишем вектор состояния системы CCK1

%запишем матрицу(VS). Первая строка матрицы VS

%определяет задание, вторая строка -фазовую координату X1,

%третья строка -фазовую координату X2, четвертая строка -

%фазовую координату m, определяющая выход запоминающего элемента.

%Для оптимального переходного процесса в конце второго интервала

%дискретности для координат X1 и X2 должны

%выполнятся соотношения: X1=0; X2=1. Коэффициенты К0 и К1

%определяются из решения системы уравнений, которые получим

%записав результаты расчета из командного окна MATLAB.

VS=[1;2.32*K0+6.32*K1*(1-3.69*K0);7.67*K0+3.69*K1*(1-3.69*K0);...

1-3.69*K0]

В новом базисе матрицы коэффициентов , , имеют вид:

,

,

.

Эти матрицы коэффициентов отличаются от тех же матриц, полученных из схемы моделирования. Изменился так же и вектор

.

Так как пакет Control System Toolbox не определят матрицу перехода , то по полученным матрицам состояния системы следует разработать схему моделирования в пакете Simulink. Таким образом, второй путь включает разработку модели по матрицам, определенным командами MatLab, и поэтому он повторят первый путь с дополнительными преобразованиями

Однако система уравнений, по которой определяются коэффициенты усиления цифрового регулятора, осталась неизменной, и остались неизменными численные значения коэффициенты и

; .

По входным сигналам фиксатора (входом цифрового регулятора) и , которые определяются составляющими векторов фазовых координат и , и значениям и , определяем выходные последовательности цифрового регулятора

Имея значения входной последовательности

и выходной последовательности

определяем Z-передаточную функцию цифрового регулятора

.

Рис.5.19. Структурная схема системы с цифровым регулятором

Рис.5.20. Осциллограммы переходных процессов оптимальной системы (1 ‑ выход системы, 2 ‑ выход регулятора)

С учетом передаточной функции цифрового регулятора на рис.5.19 представлена схема моделирования цифровой системы, а на рис.5.20 осциллограммы сигналов на выходе цифрового регулятора и на выходе системы регулирования. (ModUpr05_06mdl)

Из рис.5.20 видно, что выходная величина системы (кривая 1) без перерегулирования за два интервала дискретности достигнет установившегося значения, что отвечает постановленной задаче. Выход цифрового регулятора (кривая 2) характеризуется релейными характеристиками, не достижимыми в классе линейных систем, и соответствует законам управления, свойственным системам оптимального управления.

В системе регулирования, рассмотренной в предыдущем примере, увеличим быстродействие. Определим параметры регулятора, который осуществляет оптимальное управление, при .