Приклад К-1

Рух точки відбувається в площині і заданий параметричними рівняннями:

(1)

Визначити:

1. Рівняння траєкторії руху точки. Зобразити траєкторію на рисунку.

2. Положення точки на траєкторії в момент часу і .

3. Швидкість точки в момент часу .

4. Прискорення точки в момент часу .

5. Дотичне і нормальне прискорення точки в момент часу .

6. Радіус кривизни траєкторії точки в момент часу .

Усі знайдені величини зобразити на рисунку в масштабі.

Розв’язування.

1. Для визначення рівняння траєкторії точки виключимо параметр із рівнянь руху (1). Ураховуючи, що час входить в аргумент тригонометричних функцій, скористаємося формулою:

, тобто (2)

З рівнянь руху знаходимо вирази відповідних функцій і підставляємо в рівність (2)

чи (3)

Рівняння параболи (3) є рівнянням траєкторії руху точки. Враховуючи, що

-1 та -1 , маємо обмеження для та :

-1 та -2 , тобто траєкторією руху точки є частина параболи. Побудуємо траєкторію точки на рисунку К1.а з масштабним коефіцієнтом .

2. Визначимо початкове положення точки і положення точки в момент часу на траєкторії. Для цього підставимо в рівняння (1) час і . Отримаємо:

(4)

(5)

Таким чином (1;-2), а (1,77; -1,41). Покажемо ці точки на траєкторії (рис.К1.а).

3. Визначимо швидкість точки. Проекції швидкості в довільний момент часу дорівнюють:

(6)

В момент часу

Модуль швидкості для моменту :

.

Побудуємо вектор швидкості точки по його складовим

, , де і в масштабі (рис.К1.а).

4. Визначимо прискорення точки. Проекції прискорення в довільний момент часу дорівнюють:

(7)

У момент часу одержимо:

Модуль прискорення точки :

Вектор повного прискорення точки побудуємо по його складових , де і в масштабі (рис.К1.б).

5. Визначимо дотичне і нормальне прискорення точки в момент часу , використовуючи формули:

Побудуємо вектор повного прискорення точки по проекціях і (рис.К1.б). Для зображення векторів використовуємо той же масштаб, тобто Значення дотичного прискорення виявилося додатнім, тому відкладаємо його по осі М (дотичної до траєкторії) у напрямку вектора швидкості . Вектор нормального прискорення направимо перпендикулярно до осі М по нормалі М (вбік увігнутості траєкторії).

Збіг векторів повного прискорення при вирішенні задачі в нерухомій системі координат Оxy і рухомій системі координат М говорить про правильність результату.

6. Радіус кривизни траєкторії в точці визначимо по формулі:

Відповідь.