Приклад К-3

Механізм (рис.К3.а) складається зі стержнів 1, 2, 3, 4 і повзуна 5, з'єднаних шарнірами один з одним і з нерухомими опорами і . Відомо, що

(напрямки і - проти руху годинникової стрілки).

Визначити величину і напрямки

Дано:

Визначити:

Розв’язування.

1. Об'єктом вивчення є весь механізм як система тіл, зв'язаних між собою (так званий кінематичний ланцюг). Величина і напрямок швидкостей і прискорень точок механізму залежать від його положення. Будуємо положення механізму відповідно до заданих кутів (рис.К3.б).

2. Визначимо швидкості точок і ланок механізму в даному положенні.

Визначення швидкостей точок і ланок починають від ланки, рух якої задано за умовою, тобто в даному прикладі - від ланки 1 (рис.К3.в).

Ланка 1 прикріплена до нерухомого шарніру і виконує тільки обертальний, навколо нерухомої осі, рух. Точка належить ланці 1 і тому має швидкість, спрямовану перпендикулярно вбік його обертання. Величина швидкості:

(1)

Далі переходимо до наступної ланки кінематичного ланцюга - ланки 3. Ланка 3 виконує плоский рух. Точки і належать цій ланці. Швидкість точки відома по величині і напрямку. Точка належить повзуну, що рухається поступально вздовж напрямних. Таким чином, напрямок швидкості точки відомий. У цьому випадку, для визначення швидкості точки зручно скористатися теоремою про проекції швидкостей двох точок:

(2)

Звідси .

Швидкість точки визначимо, використовуючи поняття про миттєвий центр швидкостей (МЦШ).* МЦШ для ланки 3 (точка на рис.К3.в) знайдемо на перетині перпендикулярів до відомих векторів швидкостей і в точках і . Виходячи з напрямків і , визначимо напрямок кутової швидкості обертання ланки 3 навколо МЦШ. Вектор і спрямований вбік . Величину знайдемо з пропорції:

(3)

З аналізу геометричних побудов (рис.К3,в) випливає: Δ - прямокутний і Δ - рівносторонній. Таким чином, маємо:

і Тому швидкості точок і дорівнюють одна одній по величині, тобто

Визначимо кутову швидкість ланки 2 і швидкість точки . Ланка 2 виконує плоский рух. Точки і належать цій ланці. Швидкість точки відома за величиною і напрямком. Точка одночасно належить ланці 4, що обертається навколо нерухомого центра . Тому . МЦШ для ланки 2 (точка на рис.К3.в) знайдемо на перетині перпендикулярів до відомих напрямків швидкостей і в точках і . Виходячи з напрямку швидкості , визначимо напрямок кутової швидкості обертання ланки 2 навколо МЦШ. Вектор і спрямований убік . Величину знайдемо з пропорції:

(4)

З геометричних побудов випливає: , ,

Тому кутова швидкість ланки 2:

,

а швидкість точки :

.

3. Визначимо прискорення точок і ланок механізму в даному положенні.

Визначення прискорень точок і ланок починаємо від ланки, прискорення якої задано, тобто від ланки 1 (рис.К3, г).

Ланка 1 виконує обертальний рух. Точка належить ланці 1 й рухається по колові радіуса . Тоді повне прискорення являє собою векторну суму нормального і дотичного прискорень:

(5)

При цьому:

. Напрямок - уздовж до осі обертання .

. Напрямок , по напрямку .

Переходимо до наступної ланки 3. Ланка 3 виконує плоский рух. Точки і належать цій ланці. Прискорення точки відомо по величині й напрямку, тому точку зручно прийняти за полюс. Точка належить повзуну, що рухається поступально вздовж напрямних. Таким чином, напрямок прискорення точки є відомим. У цьому випадку, для визначення прискорення точки можна скористатися векторною формулою:

, (6)

де .

Напрямок уздовж ланки , від до центра . Напрямок .

В формулі (6) двома рисками підкреслені вектора, величина й напрямок яких відомі; однією рискою – вектора, у яких відомий тільки напрямок. При наявності двох невідомих у векторнім рівнянні (6) задача їх визначення може бути розв’язана графічно або аналітично.

Визначимо величини й аналітичним методом через проекції векторного рівняння (6) на осі координат (рис.К3, г):

(7)

Підставивши числові значення в рівняння системи (7), отримаємо:

Маємо > 0 й > 0, тому напрямок цих векторів обрано правильно.

Кутове прискорення ланки 3 визначимо з рівності:

Відповідь:

Примітка.

Якщо точка , прискорення якої потрібно визначити, рухається не прямолінійно, а по колові радіуса , то напрямок прискорення заздалегідь невідомий. У цьому випадку варто розкласти на дві складові й . Тоді рівняння (6) буде мати вигляд:

(8)

де ║ ; .

Далі, спроектувавши векторне рівняння (8) на осі координат, можна знайти й . Величину повного прискорення визначають за формулою:

.