 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Правило Ленца
|
|
З’ясуємо причину існування знаку "–" у формулі (5.1.1). На рис. 5.1.1 зображено провідний контур довільної форми, на який накладено деяку математичну поверхню. Контур пронизує магнітне поле. Напрямок обходу контуру прийнято узгоджувати з напрямком вектора магнітного поля за
правилом правого гвинта, тобто для розміщення, зображеного на рисунку,
Φ = ∫ BdS cos θ > 0. Нехай
магнітне поле зростає в часі
d Φ dt > 0. Тоді знак "–" у (5.1.1) указує, що індукована ЕРС має
від’ємний знак, оскільки викликає струм у напрямку, протилежному напрямку обходу контуру,
рис. 5.1.1. Якщо d Φ dt < 0, то ε > 0, і напрямок індукованого струму збігається з напрямком обходу
контуру.
Рис. 5.1.1. До правила Ленца.
Знак "–" у (5.1.1) є математичним еквівалентом правила Ленца, за яким індукований струм має такий напрямок, аби власним магнітним полем компенсувати причину, що викликає цей струм. Правило Ленца узгоджується із законом збереження енергії. Дійсно, якщо припустити, що індукований струм має напрямок, протилежний тому, що встановлюється цим правилом, то магнітне поле індукованого струму посилило б магнітний потік крізь контур, тобто збільшилась би швидкість зміни магнітного потоку. Це, у свою чергу, спричинить збільшення індукованого струму, тобто ще більше зростання магнітного потоку. В результаті маємо лавиноподібне зростання магнітного поля, тобто й індукованого струму, що явно суперечить закону збереження енергії.
З (5.1.1) видно, що існують три елементарних механізми зміни магнітного потоку з часом: зміна площі контуру, зміна кута між вектором В і нормаллю до поверхні та випадок, коли нерухомий контур знаходиться у змінному магнітному полі. Загальний випадок може включати різні комбінації цих елементарних механізмів. Розглянемо кожний з цих простих випадків окремо.
Виникнення ЕРС внаслідок зміни площі контуру
Цей варіант зображено на рис. 5.1.2. Дві паралельні металеві рейки, розміщені на відстані l, знаходяться в однорідному магнітному полі, перпендикулярному до площини рисунка. Орієнтація В задає напрямок обходу контуру проти ходу стрілки годинника. Уздовж рейок із швидкістю v переміщують металевий провідник. На кожний електрон провідника діє магнітна сила
FM = − e v × B c. Вільні електрони зміщуються до верхньої рейки, тоді як на нижній рейці виникає
позитивний заряд. Розділені заряди створюють макроскопічне електричне поле і на електрони діє ще
електрична сила
FE = − e E, причому у напрямку, протилежному до напрямку дії магнітної сили.
Розділення зарядів триватиме доти, поки електрична та магнітна сили не врівноважаться. Для цього стану отримуємо умову
E = v B. (СГС) (5.1.2)
c
Рис. 5.1.2. Електромагнітна індукція як результат зміни площі контуру.
Якщо ключ К замкнути, то у колі протікатиме струм, напрямок якого, як видно з рисунка, протилежний до напрямку обходу контуру. З аналізу випливає, що схема на рис. 5.1.2 має всі ознаки джерела електричного струму, причому сторонньою електрорушійною силою є магнітна сила
Лоренца. ЕРС цього джерела знайдемо, обчисливши різницю потенціалів для розімкненого кола U xx
|
Врахувавши формулу (5.1.2), маємо
ε = − B v l = − Bldx = − 1 d Φ,
c cdt
c dt
тобто отримуємо вираз (5.1.1), який описує закон електромагнітної індукції в СГС.
Обертання провідної рамки в магнітному полі
Рис. 5.1.3. ЕРС індукції при обертанні рамки в магнітному полі.
Схему цього досліду подано на рис. 5.1.3. Прямокутну рамку із провідника, вміщену в
однорідне магнітне поле, обертають навколо горизонтальної осі з кутовою швидкістю
ω. Довжина
горизонтальної сторони а, іншої b. Під дією магнітної сили електрони переміщуються вздовж горизонтальних сторін рамки у протилежних напрямках
F = e v B sinϕ =
c
e ω bB sin(ω t + ϕ0)
,
2 c
де кут ϕ0
визначає початкове положення рамки, а
v = ω b 2
– лінійну швидкість обертання рамки.
На кільцях, до яких приєднуються виводи рамки, накопичуються заряди протилежних знаків. Знак та величина кожного з них залежать од положення та напрямку руху рамки відносно магнітного поля.
Електрорушійну силу знайдемо, обчисливши інтеграл
|
Множник 2 враховує внески від обох горизонтальних сторін рамки. Маємо
ε= Bab ωsin(ω t + ϕ0)= − BS
d cos(ω t + ϕ
)= − 1 d Φ. (СГС)
c c dt
0 c dt
Таким чином, і в цьому випадку ЕРС індукції є наслідком дії сили Лоренца й описується формулою
(5.1.1).
Провідний контур у змінному магнітному полі; вихрове електричне поле
На рис. 5.1.4. а котушка, до виводів якої підключено гальванометр, рухається в неоднорідному магнітному полі, створеному іншою котушкою з постійним струмом. Виникнення ЕРС тут теж пояснюється впливом магнітної сили на електрони рухомої котушки. Необхідною умовою виникнення ЕРС тут є неоднорідність магнітного поля, яка забезпечує змінний у часі магнітний потік
крізь рухому котушку.
Рис. 5.1.4. Дослідження ЕРС індукції за допомогою котушок: а) із рухомою реєстраційною котушкою; б) реєстраційна котушка нерухома.
Схема на рис. 5.1.4. б відрізняється від попередньої тим, що переміщується котушка, яка є
джерелом магнітного поля, тоді як реєстраційна котушка нерухома. Тут на електрони вже не діє
магнітна сила
(v= 0), хоча експеримент засвідчує виникнення електрорушійної сили, величина якої
теж описується формулою (5.1.1). Більше того, електричний струм індукується навіть тоді, коли обидві котушки нерухомі, а зміна з часом магнітного потоку досягається тим, що в першій котушці створено змінний струм.
З цих дослідів випливає, що внаслідок зміни з часом магнітного потоку в контурі завжди виникає ЕРС індукції, яка описується формулою (5.1.1) незалежно від способу, яким досягається ця зміна. Однак, незважаючи на універсальність формули (5.1.1), механізми виникнення ЕРС індукції в останніх двох варіантах дослідів різні. В досліді з рухомою реєстраційною котушкою ЕРС виникає
внаслідок дії магнітної сили Лоренца на рухомі електрони. Цей дослід, як і розглянуті раніше, не є проявом нового фізичного закону, оскільки закон повинен установлювати нові зв’язки між фізичними величинами, тобто такі, що не випливають з існуючої теорії. Новим результатом є виникнення ЕРС індукції у досліді з нерухомою реєстраційною котушкою, оскільки ЕРС виникає вже не за рахунок дії магнітних сил.
Системи координат, пов’язані з кожною котушкою, інерціальні, тому події, що там відбуваються, підпорядковуються принципові відносності. За цим фундаментальним принципом, закони фізики інваріантні відносно інерціальних систем відліку. Це означає, що математична формула, яка описує фізичний закон, повинна мати однаковий вигляд в обох дослідах (див. також п. 4.12). Схеми, зображені на рис. 5.1.4. а, б, відрізняються лише вибором системи відліку. В першому випадку вона зв’язана з котушкою – джерелом магнітного поля, в другому – з вимірювальною котушкою. Принцип відносності внаслідок своєї універсальності не в змозі пояснити природу сил, що викликають струм у нерухомій котушці. Можна лише стверджувати, що ця сила повинна мати електромагнітну природу. Оскільки вона не магнітна, то залишається припустити, що вона має електричну природу. Отже, ми приходимо до висновку, який свого часу зробив Максвелл: у кожній точці простору, де існує змінне в часі магнітне поле, існує також електричне поле. Спираючись на цю гіпотезу, можна стверджувати, що для виникнення явища електромагнітної індукції присутність контуру із провідника необов’язкова. Контур є лише датчиком, який виявляє існування індукованого електричного поля. Це поле не лише створює електричний струм у замкненому провіднику, а й може викликати інші електричні явища, наприклад, поляризацію діелектрика.
Установивши електричну природу сторонніх сил, що діють на електрони в нерухомому провіднику, можна записати ЕРС індукції як
ε= ∫ Fстор dl = ∫ E dl,
q i
де Ei = Fстор
q – напруженість індукованого електричного поля. Тепер закон електромагнітної
індукції набуває вигляду
∫ Ei dl = −
1 d c dt
d
∫ BdS; (СГС) (5.1.3)
∫ Ei dl = −
dt
∫ BdS. (СІ) (5.1.3’)
Скориставшись теоремою Стокса, отримаємо закон електромагнітної індукції у локальній формі
1 d
тобто
∫ Ei dl = ∫[∇× Ei ] dS = −
c dt
∫ BdS,
⎡ 1 ∂ B ⎤
∫ + = 0
|
|
⎣
c ∂ t ⎥ dS.
Оскільки форма поверхні довільна, за єдиної умови, що вона обмежена заданим контуром, то рівність
нулеві інтеграла означає рівність нулеві підінтегральної функції, тому
∇ × Ei
∇ × Ei
= − 1 ∂ B; (СГС) (5.1.4)
c ∂ t
= − ∂ B. (СІ) (5.1.4’)
∂ t
Формула (5.1.4) описує закон електромагнітної індукції у локальній (диференціальній) формі.
З (5.1.3), (5.1.4) випливає, що індуковане електричне поле має вихрову природу, оскільки циркуляція вектора напруженості його відмінна від нуля. У свою чергу, це означає, що лінії
індукованого електричного поля замкнені, тоді як поле
Eп, утворене нерухомими електричними
зарядами, потенціальне, тобто лінії його розімкнені. Незважаючи на цю суттєву відмінність,
Eп та
E i описують єдине електричне поле, адже ці величини визначаються однаковим способом:
Ei, Eп = F
q. Такий підхід відповідає принципу Оккама, який коротко можна сформулювати так: "не
утворюй зайвих сутностей". Тобто фізичні поняття та величини необхідно формулювати так, аби вони охоплювали якомога ширше коло явищ. Отже, існує єдине електричне поле, напруженість
якого визначається формулою
E = F
q, яке у загальному випадку є суперпозицією потенціального
та вихрового електричного поля
E = Eп + Еi. (5.1.5)
Узагальнення поняття напруженості електричного поля не потребує внесення змін в основні
рівняння електромагнітної теорії. Дійсно, підставивши (5.1.6) у (5.1.5), одержимо попередній
результат, оскільки для потенціального поля ∇ × Eп = 0. Дивергенція
4π k ρ, оскільки для вихрового поля ∇ E i = 0.
5.2. Явище самоіндукції
Eп + Еi, як і раніше, дорівнює
Самоіндукція є конкретним випадком явища електромагнітної індукції. Суть її полягає у
виникненні ЕРС індукції в контурі, де створено змінний струм. Змінне магнітне поле, утворене струмом, створює магнітний потік, швидкість зміни якого визначає ЕРС самоіндукції згідно з (5.1.1).
Коефіцієнт самоіндукції
Обчислимо магнітний потік крізь контур із змінним струмом
I (t), рис. 5.2.1. Інтеграл береться
на поверхні, обмеженій провідним контуром довжиною l. Індукція поля визначається за формулами
(4.2.3), (4.2.3’), тобто маємо
Φ = ∫ BdS = I ∫ dS ∫ dl × r
c S l r 3
; (СГС). (5.2.1)
Φ = μ0 I
4π
∫ dS ∫
dl × r
3
. (СІ) (5.2.1’)
S l r
Вираз для магнітного потоку можна записати так:
Φ = L I; (СГС) (5.2.2)
c
Φ = LI, (СІ) (5.2.2’)
де L позначає інтеграл
L = ∫ dS ∫
dl × r
; (СГС) (5.2.3)
S l r
L = μ0 ∫
4π S
dS ∫
l
dl × r. (СІ) (5.2.3’)
r 3
Рис. 5.2.1. До підрахунку магнітного потоку крізь контур із струмом. Електромагнітна стала с у формулах СГС (5.2.1), (5.2.2) введена відповідно до правила, встановленого у п. 4.2. Параметр L називається коефіцієнтом самоіндукції або просто індуктивністю контуру. Як видно з (5.2.3), коефіцієнт самоіндукції, подібно до електроємності провідника, є внутрішньою характеристикою контуру, оскільки залежить лише від його розмірів та форми. З
використанням поняття індуктивності ЕРС самоіндукції можна подати в такому вигляді:
ε = − 1
d (LI); (СГС) (5.2.4)
c c 2 dt
ε = − d (LI). (СІ) (5.2.4’)
c dt
Якщо форма контуру не змінюється з часом (L = const), то
ε = − L
c c 2
dI; (СГС) (5.2.5)
dt
ε = − L dI. (СІ) (5.2.5’)
c dt
З формули (5.2.3) видно, що в СГС коефіцієнт самоіндукції має розмірність довжини { L }= см. В СІ
одиниця індуктивності називається генрі (Гн). Як видно з (5.2.2’), один генрі – це індуктивність
такого контуру, в якому струм силою 1 А створює магнітний потік 1 Вб. На практиці
використовуються дрібніші одиниці: 1мГн =10-3 Гн, 1мкГн =10-6 Гн. Відповідність між одиницями
індуктивності в СІ та СГС знайдемо, використавши наведені вище числові значення для магнітного
потоку та сили струму
1Гн = 1Вб ↔
3⋅1010
см с ⋅108 Мкс
=109 см.
1 А 3⋅109 од.струму СГС
Індуктивність довгого соленоїда
Обчислимо індуктивність соленоїда довжиною l, площею перерізу S та числом витків N.
Довжина соленоїда набагато перевищує його діаметр. Врахування цієї умови дозволяє використати
B = μ 0 nI, де
n = N l –
лінійна густина витків. ЕРС самоіндукції, яка виникає в одному витку соленоїда, дорівнює
а в N витках
ε = − d Φ = −μ
1 dt 0
nS dI,
dt
ε= ε1 N = −μ0
Отже, індуктивність довгого соленоїда
n 2 Sl dI.
dt
n 2 V = μ
l
L = 4π n 2 V = 4π N
l
S, (СГС) (5.2.6’)
де V = Sl
– об’єм соленоїда. Як буде показано далі (п. 11.4), при заповнені простору, в якому існує
магнітне поле, однорідним магнетиком індукція поля збільшується у
μ раз, де
μ – магнітна
проникність магнетика. В результаті магнітний потік, отже, й індуктивність котушки, намотаної на
магнітне осердя, теж збільшаться у μ раз
L = μμ0
n 2 V. (СІ) (5.2.7)
Індуктивність соленоїда можна також визначити з формули для магнітного потоку (5.2.2')
Φ = NBS = LI. (5.2.8)
BS визначає магнітний потік крізь площину одного витка, а множник N враховує той факт, що силові
лінії поля пронизують площини всіх витків соленоїда.
Формула (5.2.7) виконується точно для нескінченно довгого соленоїда. Як відомо, магнітне поле соленоїда обмеженої довжини можна вважати однорідним лише в його центральній частині (див. п. 4.3). Воно спадає при наближенні до краю соленоїда і складає там лише половину від максимального значення. У конденсаторах проблеми, пов’язаної з неоднорідністю електричного поля, не виникає, оскільки діелектричні прошарки між його обкладками дуже тонкі (соті, а в
електролітичних конденсаторах навіть тисячні частки мм), порівняно з розмірами обкладок (~ 1 см).
Відношення цих розмірів складає
10 3 K10 4, що дозволяє нехтувати викривленням ліній
електричного поля на краю обкладок, тобто вважати електричне поле скрізь однорідним. Котушка з подібним відношенням довжини її до діаметра мала би, по суті, голкоподібну форму. Виготовлення таких котушок є непростою технічною проблемою. Крім того, обмотка з надтонкого проводу матиме
значний електричний опір, що в більшості випадків є взагалі неприйнятним. Тому навіть в
еталонному (нормальному) соленоїді, де поле в центрі досить точно описується формулою для
нескінченно довгого соленоїда
B = μμ 0 nI, відношення його довжини до діаметра не перевищує
декількох десятків. У багатьох практичних випадках застосовуються короткі котушки, діаметр яких може навіть перевищувати довжину. Індуктивність таких котушок обчислюється шляхом введення у
формулу (5.2.7) коригувального коефіцієнта, який є функцією довжини та площі соленоїда.
Індуктивність тороїдаьної котушки
На рис. 5.2.2 зображено прямокутний у перерізі тор, на який рівномірно намотано N витків провідника. Індукція магнітного поля всередині тороїдальної котушки згідно з (4.5.3') дорівнює
B = μ0 NI
2π x. Поле тороїдальної котушки неоднорідне, тому для визначення магнітного потоку
необхідно обчислити інтеграл
Φ = N ∫ BdS. Елемент площі беремо у вигляді
dS = bdx, враховуючи,
що в межах цієї елементарної поверхні поле практично не змінюється. Після інтегрування отримуємо
μ N 2 b R
L = 0 ln 2. (СІ) (5.2.9)
2π R 1
Рис. 5.2.2. Розрахунок магнітного потоку в тороїдальній котушці.
Перехідні процеси в колі з індуктивністю
Розглянемо особливості проходження струму в електричному колі, що містить індуктивність, рис. 5.2.3. До котушки індуктивності L послідовно приєднано опір R, який включає також опір зовнішнього резистора, обмотки котушки та при необхідності опір підвідних проводів. В момент часу
t = 0
схема замикається на джерело постійного струму
ε. Сила струму в колі визначається з
рівняння
тобто
ε− L dI
dt
= RI, (СІ) (5.2.10)
dI = −
R ⎛
⎜ I −
ε L ⎞
⎟.
dt L ⎝ R ⎠
Розв’язком цього рівняння для початкової умови t = 0, І = 0 є вираз
I = I 0 (1− exp(− Rt
L)); (СІ); (5.2.11)
I = I 0
[1− exp(c 2 Rt
L)], (СГС) (5.2.11’)
який описує струм, що експоненціально зростає з часом, досягаючи рівноважного значення
для t → ∞. Коефіцієнт
I 0 = ε R
τ = L, (СІ) (5.2.12)
R
τ = L
c 2 R
(СГС) (5.2.12’)
має розмірність часу і є характеристичним параметром цього перехідного процесу.
Рис. 5.2.3. Дослідження перехідних процесів у LR-колі.
Перевівши перемикач у положення 2, вимикаємо зовнішню ЕРС із кола, тобто процес тепер описується рівнянням
− L dI
dt
= RI. (СІ) (5.2.13)
Розв’язок рівняння з урахуванням початкової умови t = 0, І = I 0
описує затухання струму
I = I 0exp(− Rt
L). (СІ) (5.2.14)
5.3. Взаємоіндукція
Явище взаємоіндукції
Під’єднаємо до контуру довжиною l 1
та площею
S 1 джерело змінного струму ε(t), рис. 5.3.1.
Змінний магнітний потік, утворений цим струмом, пронизує інший контур довжиною l 2
S 2, розміщений поблизу. Магнітний потік крізь контур l 2, визначається формулою
та площею
Φ12 =
∫ B 1 dS 2
S 2
(5.3.1)
і створює у ньому електрорушійну силу
ε = − 1 d Φ12; (СГС) (5.3.2)
вз 2
c dt
ε вз2
= − d Φ12. (СІ) (5.3.2’)
dt
Якщо другий контур замкнений, то змінний струм
I 2, індукований у ньому, створить магнітне
поле B 2, і перший контур пронизуватиме магнітний потік
Φ21 = ∫ B 2 dS 1, (5.3.3)
S 1
який наводить у ньому ЕРС
ε
= − 1 d Φ21. (СГС) (5.3.4)
вз 1
c dt
Взаємний електромагнітний зв’язок провідників із струмом називається взаємоіндукцією. Взаємоіндукція є окремим випадком явища електромагнітної індукції, коли провідні контури розглядаються як єдина система.
Рис. 5.3.1. До явища взаємоіндукції.
Коефіцієнт взаємоіндукції
Цей параметр, подібно до коефіцієнта самоіндукції, визначається за формулою
Φ12 =
L 12
I
1; (СГС) (5.3.5)
c
де L 12
описується інтегралом
Φ12 = L 12 I 1, (СІ) (5.3.5’)
dl 1 × r
L 12 = ∫ dS 2 ∫
, (СГС) (5.3.6)
S 2 l 1
μ0
r
dl 1 × r
L 12 =
4π
∫ dS 2 ∫ 3
(СІ) (5.3.6’)
S 2 l 1 r
і називається коефіцієнтом взаємоіндукції. ЕРС взаємоіндукції, що виникає у другому контурі,
дорівнює
|
c
L
dI 1
dt
dI 1
; (СГС) (5.3.7)
ε вз 2 = − 12
. (СІ) (5.3.7’)
dt
Магнітний потік, утворений струмом другого контуру, який пронизує перший контур, пропорційний силі струму I 2, тобто
Φ21 =
I 2
L 21 c
; (СГС) (5.3.8)
Φ 21 = L 21 I 2. (СІ) (5.3.8’)
Відповідно, ЕРС взаємоіндукції, що наводиться у першому контурі, є
ε = − L 21 dI 2. (СГС) (5.3.9)
1 вз
ε 1 вз = −
c 2
L 21
dt
dI 2. (СI) (5.3.9’)
dt
Тут L 21 – коефіцієнт взаємоіндукції, який визначає величину ЕРС у першому контурі внаслідок зміни
магнітного потоку, створеного струмом індекси.
I 2. Вираз для нього отримаємо з (5.3.6), якщо переставити
Як видно з (5.3.6),
L 12
та L 21
залежать од форми, розміру контурів, а також від взаємного
розміщення та орієнтації їх, тобто виражають взаємну властивість обох контурів. Тому можна припустити, що вони рівні між собою
L 21 = L 12. (5.3.10)
Цю властивість можна довести строго, використавши поняття векторного потенціалу. Виразимо
магнітний потік, наприклад, Φ 12
через векторний потенціал.
B 1 = ∇ × A 1, тобто
Φ12 =
∫ [∇× A 1 ] dS 2. (5.3.11)
S 2
Застосувавши теорему Стокса, отримуємо
Φ 12 = ∫ A 1 dl 2. (5.3.12)
l 2
Векторний потенціал лінійного струму визначається формулою (4.7.8)
c l 1 r
Тут r – віддаль од елемента
dl 1
першого контуру до елемента площі
dS 2
другого контуру.
Підставивши цей вираз у (5.3.12), отримаємо
Φ dl
c
L 12 =
12 = c ∫∫
1 dl 2, (СГС) (5.3.13)
де r 12
I 1
визначає віддаль між елементами dl 1
l 1 l 2
та
r 12
dl 2. Вираз для
L 21
отримаємо, переставивши індекси
в (5.3.13). Оскільки визначений інтеграл при цьому не змінюється, то
L 12 = L 21.
Рівняння Кірхгофа для магнітно зв’язаних контурів
У контурах, що на рис. 5.3.1, крім ЕРС взаємоіндукції, виникають також ЕРС самоіндукції.
Еквівалентну схему цих контурів зображено на рис. 5.3.2. Реальну дію магнітного поля тут замінено
еквівалентними джерелами ЕРС
ε c 1, ε вз 1, ε c 2
та ε вз 2. Напрямки стрілок указують на полярність
джерел ЕРС у деякий момент часу. Контури тепер можна вважати не зв’язаними магнітно, оскільки
всі електромагнітні явища вже враховано шляхом введення цих фіктивних джерел. Рівняння Кірхгофа
для контурів мають вигляд
де R 1, R 2
ε1 + ε c 1 + ε вз 1 = I 1 R 1,
ε c 2 + ε вз 2 = I 2 R 2,
– електричні опори контурів. Тобто
ε− L
dI 1 − L
dI 2
= R I,
1 dt
12 dt 1 1
(5.3.14)
− L dI 2 − L
dI 1 = R I.
2 dt
21 dt 2 2
Рис. 5.3.2. Еквівалентна схема магнітно зв’язаних контурів.
Коефіцієнт взаємоіндукції двох довгих соленоїдів
На рис. 5.3.3 зображено два коаксіальні соленоїди. До зовнішнього соленоїда довжиною
l 1,
площею витків
S 1 та числом
N 1 під’єднано джерело змінної ЕРС
ε(t). Внутрішній соленоїд має
довжину
l 2, площу витків S 2
та число витків
N 2. Знайдемо коефіцієнт взаємоіндукції
L 12
цієї
системи. За умов
S 1 << l 1,
S 2 << l 2
маємо
тобто
Φ12 = N 2 B 1 S 2 = μ 0 N 2 n 1 S 2 I 1,
L 12
або через лінійну густину витків
= μ0
N 1 N 2 S 2, (СІ) (5.3.15)
l 1
L 12 = μ 0 n 1 n 2 S 2 l 1. (СІ) (5.3.16)
Рис. 5.3.3. Магнітно зв'язані соленоїди.
В останній формулі добуток S 2 l 1 виражає об’єм, спільний для обох соленоїдів. Якщо вільний простір
усередині соленоїдів заповнити однорідним магнетиком із магнітною проникністю μ, то
L 12
= μμ0
N 1 N 2 S 2
l 1
. (СІ) (5.3.17)
Під’єднавши джерело змінного струму до внутрішнього соленоїда, та, провівши аналогічний
розрахунок, переконуємося, що коефіцієнт
L 21 теж описується формулою (5.3.17).
5.4. Енергія магнітного поля
Магнітна енергія струму в котушці індуктивності
Розглянемо докладніше електромагнітні процеси, які відбуваються у RL- колі, зображеному на рис. 5.2.3. По замиканні котушки на резистор струм не одразу спадає до нуля, оскільки вихрове
електричне поле, що виникає внаслідок зменшення магнітного поля (B~ I), намагається підтримати
струм у попередньому напрямку. Проте з-за наявності опору в колі енергія електричного струму
поступово переходить у теплову енергію і струм послаблюється. Отже, в колі відбуваються такі перетворення: енергія магнітного поля переходить в енергію електричного поля і далі в кінетичну енергію електронів провідності, яка переходить у тепло Джоуля. Тому, підрахувавши тепло, що виділилося у процесі затухання струму, ми визначимо енергію магнітного поля, яке існувало до
початку релаксації. Тобто
∞
U = Q = ∫ I 2 Rdt. (5.4.1)
U = LI 2
2. Сила струму в довільний момент
2 c 2
Густина енергії магнітного поля
Формула (5.4.2) має обмежене застосування, оскільки описує енергію лише однорідного магнітного поля соленоїда. Більш загальну формулу для енергії отримаємо, виразивши її як функцію індукції магнітного поля. Для цього підставимо в останню формулу вираз для струму
I = B
μμ0 n
(СІ)
та для коефіцієнта самоіндукції (5.2.6). Це дає
V, (СІ) (5.4.3)
2μμ0
де V = lS
– об’єм усередині соленоїда. Формулу (5.4.3) без застереження можна застосовувати лише
для однорідного магнітного поля. Для неоднорідного поля вона справедлива для елементарного об’єму, в межах якого можна знехтувати зміною поля, тобто
dV.
2μμ 0
Виходячи із пропорційної залежності магнітної енергії від величини об’єму, можна робимо висновок,
що, подібно до енергії електричного поля, магнітна енергія локалізована у просторі, де існує магнітне поле. Локальною характеристикою енергії магнітного поля є її густина
. (СІ) (5.4.4)
dV 2μμ0
Виконавши аналогічні процедури в СГС, отримаємо
u = dU
dV
B 2
=
8πμ
. (СГС) (5.4.4’)
З використанням співвідношення між магнітними векторами В та Н отримаємо інші вирази для густини енергії
μμ H 2
u = 0
= BH; (СІ) (5.4.5)
H 2 BH
u = μ
8π
=. (СГС) (5.4.5’)
8π
В макроскопічному об’ємі V магнітна енергія визначається інтегралом
U = ∫ udV. (5.4.6)
V
Енергія системи магнітно зв’язаних індуктивностей
Обчислимо енергію магнітного поля двох котушок, зображених на рис. 5.3.3. Якщо котушки знаходяться достатньо близько одна від одної, то необхідно врахувати, крім самоіндукції, ще й взаємоіндукцію. Розв’язок задачі можна формалізувати, використавши узагальнену формулу для
енергії (5.4.6). Магнітне поле визначається суперпозицією полів обох котушок B = B 1 + B 2. Маємо
1 2 2 2
U =
2μμ0
∫ (B 1 + B 2) dV = B 1 S 1 l 1 + B 2 S 2 l 2 + 2 B 1 B 2 S 2 l 1.
В останньому члені добуток
S 2 l 1
визначає об’єм, де B 1
та одночасно
B 2 відмінні від нуля, тобто
об’єм, спільний для обох котушок. Вираз можна звести до такого вигляду:
U = 1 (L
I 2 + L
I 2 + L I I
+ L I
I). (СІ) (5.4.7)
2 11 1
22 2
12 1 2
21 2 1
Подвійні індекси у позначеннях коефіцієнтів самоіндукції вжито з метою узагальнення формули. Для довільного числа п контурів отримуємо
U = 1
n
∑ Lij Ii I j. (СІ) (5.4.8)
2 i, j =1
5.5. Вихрові струми
Природа вихрових струмів
Вихрові струми або струми Фуко – це замкнені струми, які індукуються вихровим електричним полем у масивних провідниках. Струми Фуко є одним із проявів електромагнітної
індукції. За законом Ома густина вихрового струму в кожній точці провідника є
j = E ρ. Внаслідок
замкненості силових ліній вихрового електричного поля лінії струму також замикаються всередині провідника, тому енергія вихрового струму іде цілком на нагрівання провідника. Опір масивного провідника малий, тому вихрові струми можуть досягати значної величини. Це явище використовується у високочастотних індукційних металургійних печах для плавлення металів та виробництва сплавів із них, якщо процес потребує високої хімічної чистоти. Відомі також побутові прилади – надвисокочастотні (НВЧ) печі, де також використовується теплова дія вихрового струму.
В інших випадках вихровий струм є небажаним явищем, оскільки він викликає перегрівання електромагнітних приладів та втрату електричної енергії. Вихрові струми можна суттєво зменшити, конструюючи магнітопроводи пристроїв (трансформатори, електромагніти змінного струму, електродвигуни, електромашинні генератори та ін.) з тонких феромагнітних металевих пластин,
ізольованих електрично одна від одної.
Рис. 5.5.1. Затухання коливань маятника в магнітному полі.
За правилом Ленца вихровий струм у провіднику має такий напрямок, аби власним магнітним полем компенсувати зміну зовнішнього магнітного потоку. Ця властивість використовується в асинхронних електродвигунах із закороченим ротором (див. п. 14.13). Ротор такого двигуна знаходиться в обертовому магнітному полі. Наведений у роторі вихровий струм взаємодіє з цим полем, внаслідок чого виникає механічний момент, під дією якого ротор обертається в напрямку обертання магнітного поля, правда, із дещо меншою частотою.
За принципом відносності вихрові струми виникають і у випадку, коли суцільний провідник рухається, перетинаючи силові лінії неоднорідного магнітного поля. Тут явище пояснюється дією магнітної сили Лоренца на вільні заряди провідника. На вихрові струми у свою чергу діє магнітна сила, яка, за правилом Ленца, зменшує швидкість руху провідника. Ця гальмівна сила, подібно до механічної сили тертя, пропорційна швидкості руху провідника.
Переконливим прикладом гальмівної здатності вихрових струмів є демонстрація затухання коливань металевого маятника в магнітному полі, рис. 5.5.1. Маятник виготовляється з товстого листа металу з високою електропровідністю (алюміній, мідь). Коливання суцільної пластинки затухає дуже швидко на протязі одного-двох півколивань, тоді як маятник із того ж матеріалу у вигляді гребінця (на рисунку справа) коливається значно довше. В останньому випадку величина вихрових струмів значно менша, тому, відповідно, меншою є гальмівна ефективність. Гальмівна здатність вихрових струмів застосовується в демпферах (заспокоювачах) рухомих частин електричних вимірювальних приладів.
Скін-ефект
Постійний електричний струм рівномірно розподіляється по перерізу однорідного провідника. Змінний струм завдяки явищу самоіндукції створює вихрове електричне поле, яке викликає перерозподіл струму у провіднику. Розглянемо це явище на прикладі суцільного циліндричного провідника, вздовж якого тече змінний струм, рис. 5.5.2. Магнітні силові лінії лежать у горизонтальній площині, тоді як лінії вихрового електричного поля – у вертикальній. На рисунку відображено ситуацію, коли струм, тобто й магнітний потік зростає в часі. Видно, що біля поверхні провідника напрямки вихрового електричного поля та поля, утвореного джерелом ЕРС, збігаються,
тоді як у його центральній області вони протилежні. За законом Ома (j = λ E) струм у провіднику
розподіляється теж нерівномірно; його густина в центральній області провідника менша, а біля
поверхні перевищує значення, характерне для густини сталого струму. Згущення змінного струму біля поверхні провідника із струмом називається скін-ефектом. Термін походить від англійського слова skin, що в буквальному перекладі означає шкіра, поверхня. Розрахунки (п. 14.4) показують, що
напруженість електричного та магнітного поля, а також густина струму спадають углиб провідника
за експоненціальним законом
j ~ exp(− x a), де а – параметр затухання струму
a = 2
μμ0 σω
, (14.4.39)
який визначає віддаль од поверхні провідника до точки в глибині провідника, де густина струму
зменшується в e = 2. 718
раз. Хоча цей висновок у п. 14.4 отримано для напівбезмежного провідника,
він якісно застосовний і для провідника циліндричної форми.
З формули (14.4.39) видно, що явища, спричинені скін-ефектом, посилюються зі збільшенням частоти струму. Оцінимо товщину скін-шару а у випадку струму частотою 50 Гц, який тече по
мідному провіднику (σ = 2 ×108 Ом−1м−1) для
T = 300 K
та ω = 314 с -1. Врахувавши ці значення,
отримуємо з (5.5.1), що
a = 0, 5см. В більшості випадків діаметр провідника виявляється меншим за
це значення, тому для кіл промислової частоти 50 Гц це явище можна не враховувати. Однак, на досить високих частотах товщини скін-шару може стати значно меншою від діаметра провідника.
Так, для частоти
ν = 106 Гц
маємо
a ~ 4 мкм, тобто струм тут концентрується в тонкому шарі біля
поверхні провідника. Наслідком згущення струму є збільшення електричного опору провідника,
оскільки струм тече по меншому перерізу. Крім того, із частотою зменшується індуктивність провідника, як це випливає з формули (5.2.3). Дійсно, витіснення струму, тобто й магнітного поля з об’єму провідника внаслідок підвищення частоти призводить до зменшення магнітного потоку крізь
його переріз. При незмінній силі струму індуктивність провідника спадає з частотою як
L ~ 1
ω. (5.5.2)
Рис. 5.5.2. Ілюстрація виникнення скін-ефекту.
Для зменшення шкідливого впливу скін-ефекту у високочастотних колах застосовуються провідники трубчастої форми. Такий провідник із масою, рівною масі суцільного провідника, має значно більшу площу поверхні. Важливе значення має стан поверхні провідника. Поверхневі пошкодження (подряпини, корозія) суттєво збільшують електричний опір провідника на високій частоті. Для запобігання корозії поверхню провідників захищають шаром срібла. Крім того, срібло має дещо менший питомий опір ніж у міді, що теж призводить до зменшення загального опору провідника в умовах існування скін-ефекту.
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 724 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
