Означення. Поняття електричного (скалярного) потенціалу було введено завдяки потенціальності

описують одне й те ж силове магнітне поле.

До скалярного потенціалу можна додавати довільну константу, оскільки при цьому величина напруженості поля не змінюється. Калібрувальна інваріантність подібного типу називається глобальною. Калібрувальна інваріантність векторного потенціалу полягає в тому, що до нього можна

додавати градієнт довільної скалярної функції координат

ψ(r), тобто величину, що змінюється від

точки до точки. Ця інваріантність з очевидної причини називається локальною.

Рівняння для векторного потенціалу

Це рівняння отримаємо, замінивши в (4.4.3) В на А згідно з (4.7.1)

∇ × [∇× A ]= 4π j

a ×[ b × c ]= b (ac)− c (ab), тобто отримуємо

∇(∇ A)−∇ 2 A = 4π j. (СГС) (4.7.4)

c

Для подальшого спрощення будемо вважати, що

∇ A = 0.

(4.7.5)

Остання формула визначає спосіб калібрування векторного потенціалу в магнітостатиці. В електродинаміці, де розглядаються змінні струми, змінні електричні та магнітні поля, використовується інший спосіб калібрування (п. 13.4). Запропонований спосіб калібрування (4.7.5) необхідно обґрунтувати. Для цього визначимо дивергенцію від обох частин (4.7.2), що дає

∇ A' = ∇ A + Δψ. Якщо припустити, що ψ не довільна функція, як вважалось вище, а така, що

виконується умова

(4.7.4) отримуємо

Δψ = −∇ A, то умова (4.7.5) задовольняється для функції

c

(СГС) (4.7.6)

Δ A = −μ0 j. (СІ) (4.7.6’)

Штрих у (4.7.6) відкинуто як несуттєвий. Умова (4.7.5) просто означає, що між усіх векторних

функцій

(СГС). У векторному зображенні векторний потенціал

A = ∫ dV. (СГС) (4.7.7)

c r

отримуємо

L

∫

A = I dl

dF = I dl × B. (СІ) (4.8.1’)

Для визначення сили, яка діє на довгий та довільної конфігурації провідник із струмом, необхідно обчислити лінійний інтеграл

F = I

∫ dl × B, (СГС) (4.8.2)

де l – довжина провідника.

c l

F = I ∫ dl × B, (СІ) (4.8.2’)

l

У випадку об’ємного струму виділяємо елемент об’єму провідника

відповідність I dl ↔ j dV, отримаємо вираз

dV = dSn dl

і, врахувавши

F = 1 ∫ j × B dV, (СГС) (4.8.3)

c V

F = ∫ j × B dV. (СІ) (4.8.3’)

V

Для точкового заряду q, який рухається зі швидкістю v у магнітному полі, використавши

відповідність q v ↔ I dl, отримуємо з (4.8.1) та (4.8.1’)

F = q [ v × B ], (СГС) (4.8.4)

c

F = q [ v × B ]. (СІ) (4.8.4’)

Якщо, крім магнітного, існує також електричне поле, то

F = q E + q [ v × B ], (СГС) (4.8.5)

c

F = q E + q [ v × B ]. (СІ) (4.8.5’)

Формула (4.8.5) називається силою Лоренца на честь голландського фізика Хедріка Лоренца, який

отримав її, узагальнивши експериментальні факти. Інколи силою Лоренца називають лише магнітну її компоненту (4.8.4), а силу, зображену формулою (4.8.5), узагальненою силою Лоренца.

З (4.8.5) видно, що в СГС Е та В мають однакові розмірності, тоді як у СІ згідно з (4.8.5’) ці

розмірності відрізняються

{ E }= {v B }. Збігання розмірності Е та В є цілком природним, оскільки

електричне та магнітне поля – це компоненти електромагнітного поля, особливість якого полягає в

тому, що воно описується двома векторами Е та В чи скалярним потенціалом

потенціалом А.

B 1 не змінюється вздовж іншого провідника, тобто сила, що діє

на відрізок довільної довжини l 2, дорівнює

μ I I l

F 12

= 0 1 2 2. (СІ) (4.8.6)

2π a

Рис. 4.8.1. Магнітна взаємодія паралельних провідників із струмом.

Магнітна взаємодія провідників із струмом використовується для визначення одиниці сили

струму в СІ – 1 ампер. З (4.8.6) видно, що для

−7 H

I 1 = I 2=1A,

l 2 =1м

і а = 1м

сила взаємодії

F 12 = μ0

2π = 2 ×10

. Тобто, 1 ампер – це сила струму, який, протікаючи по паралельних безмежно

довгих провідниках малого перерізу, та, розміщених на відстані 1м, діє із силою

2×10−7H

на один

метр довжини провідника. З означення випливає, що чисельне значення магнітної сталої μ0 не

потребує незалежного експериментального визначення, оскільки згідно з (4.8.6), воно постулюється

рівним μ0

= 4π ×10 −7 H ⋅ A −2.

Еталон фізичної величини – це технічний пристрій, який відтворює одиницю чи відому частину одиниці цієї величини з найвищою досяжною на даний час точністю. В реалізованому еталоні одиниці сили струму магнітна взаємодія довгих провідників із струмом не використовується, оскільки це технічно важко реалізувати. В основу його роботи покладена магнітна взаємодія двох котушок із струмом. Сила взаємодії вимірюється чутливими аналітичними терезами. Як буде з’ясовано в п. 4.10, котушку з вимірюваним струмом необхідно вмістити в неоднорідне поле, створене цим же струмом у іншій котушці.

Робота переміщення провідника зі струмом у магнітному полі

Сила, що діє на елемент струму

dr виконує роботу

I dl

в магнітному полі В, при переміщенні елементу на відстань

dA = dF ⋅ dr = I [ dl × B ]⋅ dr. (4.8.7)

Крім магнітної сили, на елемент струму можуть діяти інші сили, наприклад, доцентрова сила, якщо

провідник є елементом обмотки ротора електродвигуна. Крім того, магнітне поле може бути

неоднорідним. Тому в загальному випадку напрямок переміщення елементу струму dr

dF = I [ dl × B ]. На рис. 4.8.2. зображено саме цей загальний

Змішаний добуток дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах як на сторонах.

Цей об'єм можна виразити в таких варіантах:

V = [ dl × B ] dr = [ B × dr ] dl = [ dr × dl ] B.

Вибираємо останній вираз, оскільки векторний добуток у ньому дорівнює площі паралелограма, яку

описує елемент

dl при переміщенні на відстань

dr, тобто

dS = [ dl × dr ]= dS n. Таким чином, робота

переміщення елемента струму дорівнює добутку сили струму на приріст магнітного потоку,

зумовлений рухом провідника,

dA = I BdS = Id Φ. (4.8.8)

Рис. 4.8.2. До визначення роботи переміщення провідника із струмом у магнітному полі.

Для провідника довільної довжини з останнього виразу отримаємо

A 1→2 = I (Φ 2 − Φ1). (4.8.9)

Цей результат не залежить від довжини та форми провідника зі струмом, які можуть змінюватися.

Також він не залежить від характеристик магнітного поля (стале чи змінне, однорідне чи неоднорідне).

4.9. Рамка зі струмом в однорідному магнітному полі

Прямокутна рамка зі струмом І знаходиться в однорідному магнітному полі, рис. 4.9.1. а. Довжина горизонтальної та вертикальної сторін а та b, відповідно. Рамку вважатимемо жорсткою, вона може лише обертатися як ціле навколо вертикальної осі ОО ’, що проходить через середину горизонтальних сторін. У нижній частині рисунка зображено вигляд на рамку зверху. Сили, що діють на горизонтальні сторони рамки, спрямовані вздовж осі і не впливають на обертання рамки. Обертовий момент утворюють сили, прикладені до вертикальних сторін

M = 2 F a sin ϕ.

Множник 2 враховує наявність пари сил; a 2

визначає відстань від осі обертання до точки

прикладання сили F = BIb c

(СГС). Тобто

M = I SB sin ϕ, (СГС) (4.9.1)

c

де S – площа рамки. Оскільки I S

M = 0, тобто в однорідному магнітному полі магнітна сила створює обертовий

механічний момент, який намагається повернути рамку так, аби магнітний момент її встановився паралельно магнітному полю.

Неважко переконатися, що формула (4.9.2) справедлива не лише для прямокутної рамки, але і для довільного плоского замкненого витка зі струмом. На рис. 4.9.1 б зображено плоский контур довільної форми, вміщений в однорідне магнітне поле. Подумки заповнимо площу, обмежену провідником, вузенькими контурами, по яких протікають струми однакової величини та напрямку. В суміжних відрізках сусідніх контурів струми мають протилежні напрямки, тому їхні внески в механічний та магнітний моменти взаємно компенсуються. Внаслідок цього сукупність контурів із струмами у магнітному відношенні еквівалентна обвідному контурові з цим же струмом. Механічний момент окремого елементарного контуру відносно осі обертання дорівнює

dM = Bdpm sin ϕ.

Оскільки

B = const, а для плоского контуру і

ϕ = const, то, інтегруючи, отримуємо (4.9.2).

4.10. Магнітні сили в неоднорідному полі

Виток із струмом у неоднорідному магнітному полі

Згідно з висновком попередньої задачі в однорідному магнітному полі дія магнітних сил на жорстку рамку зі струмом змушує рамку повертатися в положення рівноваги, тобто до паралельної

орієнтації векторів

pm та В. Розглянемо тепер особливості дії магнітних сил у неоднорідному

магнітному полі. Нехай поле має осьову симетрію, наприклад, – це поле на краю соленоїда, рис. 4.10.1. Круговий виток із струмом І розмістимо у площині, перпендикулярній до осьової лінії поля із центром на осі. Таке розміщення дозволяє позбутися поворотних явищ, які вже розглянуто в

попередньому параграфі. На елемент

I dl

діє сила

dF = IdB c, спрямована під кутом ϕ до

горизонталі. Дія горизонтальної компоненти сили зводиться до рівномірного розтягування витка, що

тут нас не цікавить. Вертикальна компонента сили сила, яка втягує виток у соленоїд, дорівнює

dFz = (Idl

c) B sinϕ

і спрямована вниз. Загальна

z

F = IBr

2π r

, (4.10.3)

де Br = B sin ϕ

c

– горизонтальна компонента магнітного поля.

Рис. 4.10.1. Виток із струмом у неоднорідному магнітному полі.

Як відзначалось раніше (п. 4.3), магнітні властивості замкненого контуру зі струмом

визначаються його магнітним моментом (4.3.2). Щоб виразити силу

Fz через магнітний момент,

необхідно в (4.10.3) увести площу витка. З цією метою використаємо магнітну теорему Гауса,

обчисливши потік В крізь замкнену поверхню, та, прирівнявши його до нуля. В якості поверхні

візьмемо циліндричну призму малої висоти dz

і побудовану на контурі. Маємо

що дає

∫ BdS = Bz (z + dz) S − Bz (z)+ 2π rBr dz = 0,

Bz (z + dz)

dBz

2π rBr = −

Bz (z)

S = − S.

dz

Підставивши цей вираз у (4.10.3), та, врахувавши, що IS

c = pm

(СГС), отримуємо кінцеву формулу

dB

F = pm z. dz

(СГС, СІ) (4.10.4)

В неоднорідному магнітному полі на виток із струмом діє сила, прямо пропорційна градієнту індукції поля та величині магнітного моменту струму. Якщо магнітний момент паралельний до вектора індукції, або складає з ним гострий кут, то на провідник із струмом діє сила в напрямку збільшення поля, тобто провідник втягується в соленоїд. Якщо магнітний момент установити у

протилежному до поля напрямку та зафіксувати цю орієнтацію, то виток буде виштовхуватися з поля.

Рис. 4.10.2. Еталон одиниці сили струму СІ: а) принципова схема еталона; б) магнітне поле силової котушки.

Реалізація еталона одиниці сили струму в СІ

Як уже зазначалося в п. 4.8, в еталоні одиниці сили струму використовується неоднорідне магнітне поле. Роботу цього приладу можна зрозуміти з рис. 4.10.2. а. Всередині нерухомої котушки з відводом від середнього витка знаходиться вимірювальна котушка меншого розміру, підвішена до

коромисла чутливих терезів. Вимірюваний струм

I 0 підводиться до середнього витка нерухомої

котушки й розходиться порівну у верхню та нижню її половини. По внутрішній котушці теж

проходить вимірюваний струм чи відома його частина (тут I 0

2). В половинках зовнішньої котушки

виникають магнітні поля протилежних напрямків. У площині середнього витка на осі котушки поле відсутнє внаслідок повної компенсації полів від обох половинок котушки. Графічна залежність

вертикальної компоненти магнітного поля від висоти схематично зображена на рис. 4.10.2. б. Поблизу

середини, де якраз знаходиться вимірювальна котушка, градієнт поля не змінюється

(B~ z). Сила,

яка діє на вимірювальну котушку, описується формулою (4.10.4) і визначається за допомогою терезів.

4.11. Рух електричних зарядів у магнітному полі

Траєкторія руху точкового заряду в однорідному магнітному полі

Розглянемо характер руху вільного точкового заряду q з масою носія заряду m в однорідному магнітному полі. Нехай швидкість руху заряду v перпендикулярна до В, рис. 4.11.1. а. Сила Лоренца перпендикулярна до швидкості, тому остання змінюється лише за напрямком, залишаючись сталою

за модулем. Така ознака характеризує рівномірний рух по колу з доцентровим прискоренням

v2 q v B

a = =, (СГС) (4.11.1)

R mc

де враховано

F = q v B

c. Тут R – радіус колової орбіти, який згідно з (4.11.1) дорівнює

R = v mc, (СГС), (4.11.2)

qB

R = v m. (СІ), (4.11.2’)

qB

З останніх формул видно, що швидкість обертання заряду в однорідному полі не змінюється за модулем. Кутова частота обертання частинки

ω = qB, (СГС) (4.11.3)

mc

ω = qB

m

називається циклотронною частотою.

(СІ) (4.11.3’)

Рис. 4.11.1. Траєкторія руху точкового заряду в однорідному магнітному полі: а) швидкість заряду перпендикулярна до поля; б) довільна орієнтація векторів v i В.

Зазначимо, що радіус орбіти залишається незмінним лише у випадку дорелятивістських

швидкостей (v << c). Якщо швидкість руху частинки близька до швидкості світла, то у формулу

(4.11.2) замість маси спокою m необхідно включити

m → m

1− v2

, (4.11.4)

c 2

тобто зі збільшенням швидкості руху циклотронна частота зменшується, а радіус орбіти зростає.

В загальному випадку швидкість частинки при входженні її в однорідне магнітне поле може

мати довільний напрямок відносно В, однак її завжди можна розкласти так, щоб одна компонента v ⊥

була перпендикулярна до поля, а інша

v11 – паралельна, рис. 4.11.1. б. В цьому випадку у виразах для

радіуса (4.11.2) та циклотронної частоти (4.11.3) необхідно v замінити на

v⊥. Вздовж вектора

магнітного поля сила не діє, тому в цьому напрямку частинка рухається зі сталою швидкістю

v11.

Накладання двох рухів – рівномірного обертання по колу з частотою

ω та рівномірного

прямолінійного руху в напрямку, перпендикулярному до площини кола, описує траєкторію у вигляді гвинтової лінії, як це зображено на рис. 4.11.1. б.