Перетворення електричного поля

Якщо сила має електричну природу, тобто

F = q E, то, враховуючи формулу (4.12.7) й

одночасно інваріантність електричного заряду, приходимо до висновку, що напруженість електричного поля також повинна змінюватися при переходах між інерціальними системами.

Розглянемо це питання на прикладі електричного поля, утвореного зарядом плоского

конденсатора. На рис. 4.12.2 заряджений конденсатор рухається із швидкістю v вздовж осі ОХ.

Дослідимо перетворення електричного поля при переході між системами К і K'

в залежності від

орієнтації конденсатора відносно напрямку його руху. На рис. 4.12.2. а електричне поле паралельне до напрямку руху. Відстань між обкладками в лабораторній системі менша ніж у нерухомому конденсаторі (див. (4.12.3)), однак це не впливає на напруженість електричного поля. Врахувавши інваріантність електричного заряду, отримуємо, що компонента електричного поля, паралельна

напрямку руху заряду, не залежить од швидкості руху заряду

ΙΙ

E ΙΙ

= E '.

(4.12.8)

Рис. 4.12.2. Електричне поле рухомого конденсатора: а) поле паралельне до напрямку руху конденсатора; б) поле перпендикулярне до напрямку руху.

Розглянемо перетворення поперечної компоненти електричного поля. На рис. 4.12.2. б електричне поле перпендикулярне до напрямку руху конденсатора. Розмір обкладок у напрямку руху зменшується згідно з (4.12.3). Електричний заряд розподіляється по меншій площі, тому його

поверхнева густина зростає

σ = σ0,

1 − β2

(4.12.9)

де σ0 – поверхнева густина заряду нерухомого конденсатора. Напруженість однорідного поля

пропорційна поверхневій густині заряду, тому поперечна компонента електричного поля

E ⊥ заряду,

⊥

що рухається, зростає порівняно з відповідною компонентою для нерухомого заряду E' як

E

E ⊥ =

'

⊥.

1 − β2

(4.12.10)

Формули перетворення (4.12.8) та (4.12.10) застосовні не лише для однорідного, але і для довільного електричного поля, зокрема, для поля точкового заряду.

Про інваріантність електричної теореми Гауса

Під час аналізу властивості формули, яка описує електричну теорему Гауса

∑ qi = ∫ EdS, (1.5.3)

4π k

було застережено, що, незважаючи на інваріантність величини в лівій частині формули, не можна без

додаткового аналізу стверджувати, що потік Е не змінюється й у випадку, коли заряди рухаються. Формула (1.5.3) не може бути підтвердженням цієї властивості, оскільки вона отримана із закону Кулона, тобто для нерухомих зарядів. Тепер ми можемо дослідити цю властивість і для рухомих зарядів, використавши формули перетворення електричного поля для інерціальних систем (4.12.8) та (4.12.10).

Нехай електричне поле створюється точковим зарядом q. Як і раніше, заряд знаходиться у

спокої в системі K'

та рухається вздовж осі ОХ із швидкістю v відносно лабораторної системи К. В

K ' напруженість електричного поля

E ' = q

r ' 2

і, згідно з (1.5.3), ∫ E' dS' = 4π q. Необхідно показати,

що й у системі К, де заряд рухається, теж справедливе відповідне співвідношення, тобто ∫ EdS = 4π q.

Запишемо компоненти вектора

E', причому, враховуючи еквівалентність координат y та z,

x

обмежимося лише компонентами поля E'

z

та E '

E' =

q cos θ ' =

kqx'

, (СГС) (4.12.11)

x r' 2

(x' 2 + z' 2)32

E ' =

q sin θ ' =

kqz '

E

z

z

, (4.12.12)

де r' 2 = x' 2 + z' 2; cos θ ' = x'

z

r';

r' 2

sin θ ' = z'

(x' 2 + z' 2)32

r'. Запишемо відповідні вирази для компонент Е. З

E

x

формули (4.12.8) маємо

' = Ex, а згідно з (4.12.10) отримаємо

' = E

(1 − β2

). Щоб замінити

відповідні штриховані величини на нештриховані у правих частинах (4.12.11) та (4.12.12),

використаємо перетворення Лоренца (4.12.2). При цьому вважатимемо, що заряд проходить через

початок координат (тобто координатні осі в К та K '

спрощує перетворення і ми отримуємо

збігаються) у момент часу

t = 0. Це суттєво

x

x

=

E = E'

(x 2

γ kqx,

(1− β2)+ z 2)32

(4.12.13)

z

z

=

E = γ E'

(x 2

γ kqz,

(1− β2)+ z 2)32

де γ =

1 − β2. Врахувавши, що E 2 = E 2 + E 2, маємо

E = q

x z

1− β2

, (4.12.14)

r 2 (1− β2 sin 2 θ)32

де r 2 = x 2 + z 2, а

z r = sin θ.

Тепер можна обчислити потік напруженості поля у системі K (тобто для рухомого заряду)

крізь деяку сферичну поверхню з центром, де знаходиться заряд. Маємо

π

Φ = ∫ EdS =2π q 1 − β 2

sinθ d θ

()∫ (1 − β 2 sin

2 θ)3 2

, (4.12.15)

де враховано, що площа елемента сферичної поверхні

зробимо заміну

dS = 2π r 2 sinθ d θ. Для обчислення інтеграла

що дає

cos θ

= 1 −β

β

tg ϕ, (4.12.16)

З (4.12.16) отримуємо

Φ = −

2π q

β

(sinϕ2 −sin ϕ1). (4.12.17)

sin ϕ =

βcos θ,

1 − β2 + β2cos2θ

тобто границі інтегрування sin ϕ1 = −β;sin ϕ2 = β.

Підставивши ці значення в (4.12.14), отримуємо

Φ = 4π kq. (4.12.18)

Отже, ми отримали хоча й досить складним способом такий самий результат, як і для нерухомого

заряду, засвідчуючи тим інваріантність електричної теореми Гауса.

Релятивістська інваріантність електромагнітного поля

Аналізуючи взаємодію точкового заряду та провідника із струмом, ми отримали однакові результати, незалежно від вибору систем відліку, тобто незалежно від того, чи цей рух розглядався в системі спокою провідника, чи в системі спокою точкового заряду. У першому випадку ця взаємодія була лише магнітною, тоді як в іншому електричною. В загальному випадку, коли розглядається довільна система зарядів, де кожний із них має довільну швидкість, отримаємо проміжний результат, тобто спостерігатимемо одночасно електричну та магнітну взаємодію, які лише частково перетворюються одна в іншу при переходах між інерціальними системами.

Таким чином, досить уявно перейти від одної системи координат до іншої, щоб магнітна взаємодія повністю або частково перетворилась в електричну взаємодію і, навпаки. З цього факту випливає висновок, що електричні та магнітні сили – це дві компоненти єдиного фізичного явища – електромагнітної взаємодії. Якщо поділ електромагнітної взаємодії на електричну та магнітну взаємодії залежить від точки зору спостерігача в буквальному, тобто механічному розумінні цього слова, то об'єднана електрична та магнітна, тобто електромагнітна взаємодія є релятивістськи інваріантною. Вираз релятивістська інваріантність означає інваріантність з поправкою на

релятивістський множник

1− β2

, що є загальною закономірністю, за якою перетворюються сили в

інерціальних системах.