 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Елемент струму
|
|
Відрізок прямолінійного провідника зі струмом, довжина якого значно менша ніж відстань, на якій досліджуються магнітні властивості струму, називається елементом струму. Кількісно елемент
струму описується добутком
I dl, де І – сила струму, а
d l – елемент довжини провідника,
спрямований вздовж струму. Елемент струму нагадує точковий електричний заряд, проте, на відміну від нього, характеризується спрямованістю у просторі.
Закон магнітної взаємодії елементів струмів (закон Ампера)
Розглянемо магнітну взаємодію двох довільно зорієнтованих елементів струму
I 1 dl 1
та I 2 dl 2,
розміщених на відстані
r 12, рис. 4.1.1. Побудову виконано так, що елемент
I 1 dl 1
належить площині
1, елемент
I 2 dl 2 – площині 2, а вектор
r 12, що з'єднує їх, лежить у площині 3 рисунка. Експеримент
засвідчує, що сила
dF 12, із якою перший струм діє на другий, пропорційна величині обох струмів та
довжині елементів провідників. Крім того, Ампер установив, що подібно до взаємодії точкових електричних зарядів, ця сила обернено пропорційна квадрату відстані між елементами струмів. Сила також залежить од взаємної орієнтації елементів струмів. З урахуванням цих залежностей шукана сила описується такою формулою:
dF 12
= k m
I 1 dl 1sin θ1 ⋅ I 2 dl 2 sin θ2. (4.1.1)
|
Рис. 4.1.1. Магнітна взаємодія елементів струмів.
З’ясувалося, що врахувати напрямок дії сили можна, виразивши попередню формулу у вигляді подвійного векторного добутку
dF 12
= k m
I 1 I 2 dl 2 × [ dl 1 × r 12 ]. (4.1.2)
|
Кути θ1 і θ2
в (4.1.2) відраховуються по-різному; θ1 відкладається в напрямку від елемента
I 1 dl 1 до
вектора
r 12, а
θ2 – від елемента
I 2 dl 2
до векторного добутку
dl 1 × r 12, рис. 4.1.1. Вираз для сили
dF 21, з якою елемент
I 2 dl 2
діє на елемент
I 1 dl 1
, отримаємо з (4.1.2), переставивши індекси 1 та 2, а
також, замінивши відповідні кути на θ'
= (dl ∧ r
)та θ'
= (dl ∧ dl × r
), тобто
2 2 21
1 1 2 21
dF 21
= km
I 1 I 2 dl 1 ×[ dl 2 × r 21 ]. (4.1.2’)
|
Формула (4.1.2) отримана Ампером і називається законом Ампера. Це – основний експериментальний закон магнітостатики, який тут виконує функцію, подібну тій, що її виконує закон Кулона в електростатиці.
Електродинамічна та магнітна стала
Коефіцієнт пропорційності k m
у формулах (4.1.2), (4.1.2’) залежить від вибору одиниць
фізичних величин, що туди входять. Цей вибір не пов'язаний із законом магнітної взаємодії елементів
струмів, тому слід очікувати, що як у СІ, так і в СГС k m
не дорівнюватиме одиниці.
З (4.1.1) видно, що розмірність k m
в СГС відповідає розмірності квадрата оберненої швидкості
{ km }= cек2 cм2. У зв’язку з цим в СГС цей коефіцієнт прийнято записувати так:
1
km =
, (СГС) (4.1.3)
де новий коефіцієнт с має розмірність швидкості й називається електродинамічною сталою.
Величину с можна визначити експериментально. Виявилося, що вона дорівнює швидкості світла у вакуумі c = 2, 997 × 1010 см с. Ця відповідність, як з’ясується в п. 4.12, має глибокий фізичний смисл.
Знаючи величину
k m в СГС, можна обчислити відповідний коефіцієнт пропорційності в СІ.
Для цього розрахуємо в обох системах силу взаємодії двох паралельних елементів струму
I 1 = I 2 = 1A
та dl 1 = dl 2 = 1 cм, розміщених на відстані 1 м,
СГС: dF =
( 3 ×109
од. І ) 2 = ⋅1 cм 2
=10 −6
дин,
СІ:
(3 ⋅1010 см с)2 ⋅10 4 cм 2
dF = km ⋅10−4 H.
Врахувавши, що
1Н =105 дин, отримуємо
km =10−7 Гн м.
Задля спрощення розмірність k m
виражена не через основні одиниці, а через похідну одиницю – індуктивність (генрі, Гн) та одиницю довжини. Закон магнітної взаємодії у СІ, як і закон Кулона, прийнято записувати в раціоналізованій
формі. Тобто вводиться новий коефіцієнт – магнітна стала μ 0
така, що
km = μ0
4π = 10−7
, μ0 = 4π ⋅10
|
Закон магнітної взаємодії неправильний?
На рис. 4.1.2. а взаємодіють два паралельні елементи струму. Неважко переконатися, що
елементи взаємно притягуються з однаковими силами
dF = − dF
= k I I dl dl
r 2. Якщо
21 12
m 1 2 1` 2 12
елементи струму мають протилежні напрями, то виникає сила взаємного відштовхування, рис. 4.1.2. б.
На рис. 4.1.2. в елементи струмів взаємно перпендикулярні, тобто сила
dF 12
спрямована вниз. З
іншого боку, бачимо, що
dF 21 = 0, оскільки кут '
між
I 2 dl 2
та r 21
дорівнює
180o. Для інших
взаємних орієнтацій елементів струмів сили
|
та dF 21
виявляються неколінеарними й
неоднаковими за модулем
dF 12 ≠ − dF 21. Таким чином, для магнітної взаємодії елементів струмів
постулат Ньютона щодо рівності сил дії та протидії загалом не виконується. Невиконання цього постулату зумовлено тією обставиною, що закон магнітної взаємодії у вигляді (4.1.2) є, по суті, гіпотезою, сформульованою на основі експериментів, які проводились із замкненими струмами, а не з відрізками малої довжини. Сталий струм можна створити лише в замкненому колі й експериментально магнітна взаємодія вивчалася саме за такої умови. Досліджувалась сила взаємодії в залежності від довжин прямолінійних ділянок провідників із струмом, а також відстані між ними. Найскладнішими виявилися дослідження залежності сили від взаємної орієнтації провідників, проте й ці труднощі було переборено. На основі отриманих даних Ампер синтезував формулу (4.1.2), яка стосується взаємодії окремо взятих елементів струмів. Формула зручна тим, що замкнені струми будь-якої форми можна розділити на нескінченно малі практично прямолінійні відрізки й застосувати
цю формулу для кожної пари елементів струмів.
Рис. 4.1.2. Деякі варіанти взаємодій елементів струмів.
Сила, з якою замкнений струм інтегралом
I 1 діє на елемент струму
dl 1 × r 12
I 2 dl 2, визначається лінійним
|
L 1 12
. (4.1.5)
Формула (4.1.5) ґрунтується на експериментально встановленій адитивності магнітних сил.
Просумувавши внески в силу від усіх елементів струмів контуру із якою один замкнений провідник із струмом діє на інший
L 2, отримуємо повну магнітну силу,
F 12 = k m
I 1 I 2 ∫
L 2
dl 2 × ∫
L 1
dl 1 × r 12
|
. (4.1.6)
Вираз для сили F 21
отримуємо, переставивши індекси в (4.1.6),
dl 2 × r 21
F 21 = km I 1 I 2 ∫ dl 1 × ∫ 2
r
= − F 12. (4.1.6’)
L 1 L 2 21
Для замкнених струмів сила магнітної взаємодії виявляється ньютоновою. Зауважимо, що внаслідок неможливості експериментальної перевірки закону магнітної взаємодії елементів струмів у праву частину (4.1.2) завжди можна дописати повний диференціал довільної функції, оскільки інтеграл по
замкненому контуру від повного диференціала дорівнює нулеві. Тобто на величину сили (4.1.6), яку можна експериментально поміряти, такий доданок не впливає. Це нагадує властивість калібрувальної інваріантності для електричного потенціалу (п. 1.10).
4.2. Магнітне поле Індукція магнітного поля
Магнітне поле
З’ясовуючи механізм магнітної взаємодії струмів і постійних магнітів, ми зустрічаємося з такою ж проблемою, що і при поясненні механізму електричної взаємодії. Сучасне трактування магнітної взаємодії, як і електричної має польовий характер. Вважається, що простір навколо струму чи постійного магніту набуває певної властивості, яка існує незалежно від наявності інших струмів чи магнітів. Присутність інших струмів лише дозволяє виявити цю властивість простору, яка проявляється в існуванні магнітних сил. Іншими словами, причину виникнення цих сил убачають в існуванні магнітного поля біля провідників із струмом та постійних магнітів. Магнітне поле є носієм багатьох фізичних властивостей. Воно має енергію, імпульс та поширюється зі скінченною швидкістю, яка дорівнює швидкості світла. Частина вчення про магнетизм, де вивчаються магнітні властивості постійних струмів та магнітів, називається магнітостатикою. Статичне магнітне поле створюється постійними електричними струмами чи постійними магнітами. Однак, змінне в часі магнітне поле не потребує присутності цих джерел. Воно може існувати в нерозривному зв’язку зі змінним електричним полем у вигляді електромагнітної хвилі. Змінні електричні та магнітні поля взаємно перетворюються одне в одного і розглядаються як єдиний об’єкт – електромагнітне поле.
Індукція магнітного поля
У польовому трактуванні закон магнітної взаємодії елементів струмів пояснюється так: елемент
струму
I 1 dl 1
створює магнітне поле, внаслідок чого на елемент
I 2 dl 2
діє сила, що описується
формулою (4.1.2). Для запровадження кількісної характеристики магнітного поля виділимо у правій
частині (4.1.1) члени, які відносяться лише до елемента струму I 1 dl 1
. Отримаємо
⎛ ⎞
dF 12
= k ⎜ I 1 dl 1sin θ 1 ⎟
. (4.2.1)
|
|
|
⎟ = dB 1
⎠
Величина, позначена як
dB 1, не залежить од параметрів елемента струму
I 2 dl 2, який тут відіграє
роль приладу для вимірювання магнітного поля, створеного елементом
I 1 dl 1. Тобто
dB 1
є силовою
характеристикою магнітного поля, утвореного елементом струму
I 1 dl 1
у точці, де знаходиться
елемент I 2 dl 2. З (4.2.1), урахувавши (4.1.2), отримуємо векторну величину
μ I [ dl × r ]
dB = 0
4π r 3
індукцію магнітного поля, створеного елементом струму
I dl
(СІ) (4.2.2)
на відстані r від нього. Тут для загалу
індекси відкинуті. Означення подано так, як це прийнято в СІ.
Виходячи з експериментально встановленої адитивності магнітних сил, можна стверджувати,
що індукція магнітного поля, створеного замкненим провідним контуром L із струмом І (рис. 4.2.1),
визначається інтегралом
B (r)= μ0 I
dl × r'
∫
. (СІ) (4.2.3)
4π L
r ' 3
Розміщення векторів r та r'
можна бачити на рис. 4.2.1.
Рис. 4.2.1. До підрахунку індукції магнітного поля замкненого струму.
В СГС відповідну формулу для елемента струму прийнято записувати так:
I [ dl × r ]
i для замкненого контуру L
dB =
B (r)=
cr 3
I dl × r'
∫
(СГС) (4.2.2’)
. (СГС) (4.2.3’)
c L r ' 3
Формула (4.2.3’) називається законом Біо-Савара. Індукцію магнітного поля часто коротко називають " вектор В " або просто магнітне поле, маючи при цьому на увазі фізичну величину, якою воно описується.
Коефіцієнт пропорційності
k m в СІ включається у формулу (4.2.2), тоді як у відповідну
формулу для СГС (4.2.2’) входить лише множник
1 c, а не
1 c 2. Записуючи формулу в СГС,
необхідно дотримуватися такого правила: в СГС у формулах магнетизму сила струму та
електричний заряд завжди поділені на електродинамічну сталу. Тобто існують лише такі комбінації:
I c, q
c, I 1 I 2
c 2,
c q тощо.
Формула (4.2.2) застосовуються для обчислення магнітного поля лінійного струму, тобто такого, що тече у провіднику малого перерізу. Аби пристосувати її для об’ємного струму,
скористаємося тим, що сила струму dI
густину струму j як
в елементі об’єму
dV = dSn dl
провідника виражається через
dI dl = jdSn dl = j dV. (4.2.4)
Тут враховано паралельність j та dl. Тоді з (4.2.3’) отримуємо для випадку об’ємного струму вираз
|
|
c V r' 3
dV, (CГС) (4.2.5)
і з (4.2.3)
B (r)= μ0
j × r'
∫
dV. (СІ) (4.2.5’)
4π V
r' 3
Для магнітного поля, як і для електричного виконується принцип суперпозиції, за яким магнітне поле, створене деяким струмом, не залежить від присутності магнітних полів, утворених іншими струмами. Принцип суперпозиції є наслідком експериментально встановленої адитивності магнітних сил. Цей принцип, власне, вже використовувався для визначення магнітного поля замкненого струму (4.2.3).
Лінії індукції магнітного поля
Лінія індукції, або силова лінія магнітного поля – це напрямлена лінія, дотична до якої у кожній точці лінії збігається з напрямком вектора індукції В. Особливістю магнітних силових ліній є їхня замкненість, тобто властивість, відмінна від властивості ліній електростатичного поля, які завжди розімкнені. Якщо незамкненість ліній Е є наслідком потенціальності електростатичного поля, то замкненість ліній В засвідчує вихровий характер магнітного поля. Ця властивість магнітного поля спричинена відсутністю магнітних зарядів, у разі існування яких ці лінії, подібно до ліній електростатичного поля, починались чи закінчувались би на цих зарядах.
Одиниці індукції
В СІ одиницею індукції є тесла (Тл). В СГС відповідною величиною є гаус (Гс). Зв’язок між ними знайдемо з (4.2.2) і (4.2.2’), обчисливши в обох системах одиниць значення В для елемента
струму I = 1A, dl =1см на відстані r =1 м по перпендикуляру до провідника. Маємо
СІ: dB =10− 9 Тл;
СГС: dB =
3 ×109
=10 −5 Гс.
Отже, 1 Тл ↔ 104 Гс.
3 ×1010 ×10 4
4.3. Розрахунки магнітних полів за формулою Біо-Савара
Розглянемо декілька типових прикладів застосування закону Біо-Савара для розрахунку магнітних полів.
Магнітне поле колового струму
Тонке кільце зі струмом І має радіус R, рис. 4.3.1. Необхідно обчислити магнітне поле вздовж осі кільця як функцію відстані х від його центра. Для елемента струму, зображеного на рисунку,
маємо
dB = Idl
cr 2, причому вектор поля лежить у його площині. Загальне поле, як випливає із
симетрії задачі, належить осі ОХ, тобто дають внесок лише горизонтальні компоненти поля елементів струмів. Отже, формула для розрахунку має вигляд
dB = Idl sin θ = Ι Rdl.
x cr 2
cr 3
Величини І, R, r однакові для всіх елементів струму й, інтегруючи по кільцю, отримуємо
2π IR 2
B =; (СГС) (4.3.1)
cr 3
μ IR 2
B = 0. (СІ) (4.3.1’)
2 r 3
На значних відстанях, тобто для r >> R, маємо r ≈ x.
Рис. 4.3.1. Розрахунок поля колового струму.
Магнітний момент струму
Магнітним моментом витка зі струмом називається добуток сили струму на площу,
обмежену цим витком,
pm = IS. CI)
В СГС, згідно з правилом, викладеним у попередньому параграфі, маємо
pm = IS
c. (СГС)
Якщо замість одного провідника взяти котушку з N витками, то
pm = INS
(СІ). Для введення
інформації про напрямок струму магнітний момент прийнято вважати вектором, перпендикулярним до площини, в якій лежить провідник із струмом. У зв'язку з цим поняття магнітного моменту є коректним лише для пласких контурів. З двох можливих напрямків вибирається той, що узгоджується з напрямком струму за правилом правого свердлика, рис. 4.3.1. Отримуємо
p = IS n = I S, (СГС) (4.3.2)
m c c
pm = IS n = I S. (СІ) (4.3.2’)
Подібно до електричного моменту диполя, магнітний момент є внутрішньою характеристикою
контуру із струмом. Важливість цього параметра зумовлена тим, що для розв’язування багатьох задач магнетизму зовсім не обов’язково знати окремо силу струму, форму та площу контуру, обмежену струмом. Достатньо знати лише величину їхнього добутку та орієнтацію струму в просторі, тобто магнітний момент. Наприклад, відповідь на задачу (4.3.1), розв’язану вище, можна подати так:
B = 2
r 3
pm. (СГС) (4.3.3)
Магнітне поле соленоїда
На рис. 4.3.2 зображено соленоїд довжиною l, радіусом R та числом витків N із струмом I. Як і у попередній задачі, магнітне поле спрямоване вздовж осі котушки. Щоб використати розв’язок
попередньої задачі, виділимо малий відрізок уздовж осі dx
з кількістю витків
dN = ndx, де n –
лінійна густина витків. В наближенні
dx << l,R
магнітне поле виділеної ділянки описується
формулою для колового струму (4.3.1). Необхідно лише замість струму І поставити струм на відрізку
dx, тобто dI = Indx. Маємо
dB =
2π IR 2 n
dx.
c (x 2 + R 2)2
Рис. 4.3.2. Розрахунок магнітного поля соленоїда: а) для довільної точки на осі; б) у центрі
соленоїда.
Тут зручно перейти до кутової змінної α
x = R ctg α; dx =
Rd α;
sin2α
x 2 + R 2 =
R.
sin α
Інтегрування в межах від α1 до α 2 дає такий результат:
2π In
B =
c
μ In
[cosα2 − cos α1 ], (СГС) (4.3.4)
B = 0 [cosα2 − cos α1 ]. (СІ) (4.3.4’)
В центрі соленоїда (α1+ α 2 = π), рис. 4.3.2. б, поле дорівнює
B = 4π Inl
c l 2 + 4 R 2
, (СГС)
а на краю соленоїда (α1= π 2)воно удвічі менше
B = 2π Inl
c l 2 + R 2
. (СГС)
Якщо соленоїд довгий, тобто l >> R, то поле в його центрі
B = 4π In c, (СГС) (4.3.5)
B = μ 0 In. (СІ) (4.3.5’)
На краю соленоїда (α1 = π 2, α 2 = 0) поле виявляється вдвічі меншим ніж у центрі.
Прямий безмежно довгий провідник із струмом
Необхідно знайти поле як функцію відстані а від довгого прямолінійного провідника із
струмом І, рис. 4.3.3. а. Виділимо елементарний відрізок dl
на відстані l від основи перпендикуляра.
Вектор dB
елемента струму перпендикулярний площині рисунка. Всі елементи провідника дають
колінеарний внесок у сумарний магнітний вектор, тобто розв’язок можна подати як скаляр
dB = Idl sinθ a 2. Виразимо всі змінні величини через кут ϕ
Інтегруючи, отримуємо
sin θ = cos ϕ; r =
a
cos ϕ
; l = r tg ϕ; dl = r
d ϕ.
cos 2 ϕ
B = 2 I, (СГС) (4.3.6)
ca
μ I
B = 0. (СІ) (4.3.6’)
2π a
Результат можна подати у векторному вигляді
2 I [ n × a ]
B =
ca 2
, (СГС) (4.3.7)
де n – орт, спрямований уздовж струму.
Оскільки
B ⊥ a, то силова лінія є колом із центром на провіднику, тобто – це замкнена крива.
Рис. 4.3.3. Обчислення індукції магнітного поля: а) магнітне поле лінійного струму; б) магнітне поле рухомого точкового заряду.
Магнітне поле точкового заряду
На рис. 4.3.3. б точковий заряд q рухається із швидкістю v відносно деякої системи відліку. Для визначення магнітного поля заряду використаємо закон Біо-Савара (4.2.2), попередньо знайшовши
відповідність між елементом струму
Idl
та параметрами точкового заряду q та v. Нехай величина
рухомого заряду в елементі dl
є dq, а dt
– проміжок часу, за який цей заряд проходить крізь переріз
провідника. Тоді I dl = (dq
dt) v dt = dq v
і, замінивши dq на q, отримаємо таку відповідність:
I dl ↔ q v. (3.4.8)
Врахувавши це, із (3.2.2’) отримуємо
q [ v × r ]
B =
cr 3
, (СГС) (4.3.9)
B = μ0 q [ v × r ]. (СІ) (4.3.9’)
4π r 3
4.4. Теорема про циркуляцію В
Інтегральна форма теореми
Фундаментальною властивістю електростатичного поля є його потенціальність, яка
математично описується рівністю ∫ Edl = 0. Потенціальний характер електростатичного поля означає
незамкненість його силових ліній. Дійсно, якщо припустити існування хоча б однієї замкненої
силової лінії, то, обчисливши циркуляцію Е вздовж неї, ми отримали б відмінний від нуля результат,
тобто непотенціальне поле. В задачі на обчислення магнітного поля довгого провідника із струмом
(п. 4.3) було з’ясовано, що лінії В замкнені, тобто інтеграл ∫ Bdl, взятий уздовж силової лінії, не
дорівнює нулеві. Задача, таким чином, полягає в обчисленні значення цього інтеграла.
Рис. 4.4.1. До теореми про циркуляцію В: а) струм проходить крізь контур; б) контур не охоплює струму; с) узагальнення для декількох провідників із струмом.
Спочатку розглянемо простий випадок, коли контур для інтегрування збігається із силовою лінією. Поле прямого струму описується формулою (4.3.6), тому, інтегруючи вздовж силової лінії, якою в даному випадку є коло з центром на провіднику, отримуємо
4π
∫ Bdl = I. (СГС) (4.4.1)
c
Переконаємось тепер, що аналогічний результат отримується і для плаского математичного
контуру довільної форми, який пронизується прямолінійним струмом, рис. 4.4.1. а. Елемент dl
задає
елементарний кут
d ϕ, а
dl cos(dl ∧ B)– проекцію dl
на напрямок, перпендикулярний до радіуса.
Остання з точністю до величини другого порядку мализни дорівнює довжині відповідної дуги, тобто
маємо
Bdl = Brd ϕ. Підставивши значення В, та, інтегруючи в межах від 0 до
2π, отримуємо
результат, який збігається з (4.4.1).
Обчислимо тепер циркуляцію В для випадку, коли контур не охоплює струму, як це зображено
на рис. 4.4.1. б. Якщо провести від провідника два промені з малим кутом розхилу
d ϕ, то отримаємо
для відповідних елементів контуру
B 1 dl 1 = (2 I
c) d ϕ та
B 2 dl 2 = −(2 I
c) d ϕ, тобто
B 2 dl 2 = − B 1 dl 1.
Від’ємний результат для елементу
dl 2
|
α2 = (B 2
d l 2)тупий. Оскільки весь
контур можна розділити на пари елементів, внески яких у магнітне поле взаємно компенсуються, то виходить, що циркуляція В по контуру, який не пронизується струмом, дорівнює нулеві.
Нарешті, розглянемо загальний випадок, коли контур пронизується декількома струмами,
рис. 4.4.1. в. Оскільки
B = ∑ B k і для довільного I k
виконується умова ∫ Bk dl = (4π c) I k, то
∫ Bdl = 4π
c
∑ I k
, (СГС) (4.4.2)
∫ Bdl = μ 0 ∑ Ik. (СІ) (4.4.2’)
Рівність (4.4.2), (4.4.2’) виражає в найбільш загальному вигляді сутність інтегральної теореми про
циркуляцію В. Тут мається на увазі алгебраїчна сума струмів. Чисельне значення струму вважається додатним, якщо його напрямок узгоджується за правилом правого гвинта з напрямком обходу
контуру і від’ємним у протилежному випадку. Так, наприклад, якщо
I 4 = 3 A, то ∑ Ik =1 + 5 − 2 − 3 =1A.
I 1 = 1A,
I 2 = 5 A,
I 3 = 2 A,
Необхідно мати на увазі, що в (4.4.2)
B (r)
визначається суперпозицією полів, утворених в
довільній точці контуру r як внутрішніми, так і зовнішніми відносно контуру струмами, тоді як у праву частину (4.4.2) входять лише внутрішні струми. Також важливою властивістю формули є незалежність результату від розміщення струму – необхідно лише, аби струм де-небудь пронизував контур. Хоча теорему доведено для безмежного прямолінійного струму, вона справедлива і для струмів будь-якої конфігурації.
Диференціальна (локальна) форма теореми про циркуляцію В
Для об’ємних струмів теорему про циркуляцію В можна подати в диференціальній формі.
Об’ємний струм виразимо як потік густини струму крізь поверхню S, обмежену замкненим
математичним контуром
l, тобто
I = ∫ jdS. Циркуляцію В запишемо як потік ротора В крізь
поверхню, використавши теорему Стокса. Маємо
∫ Bdl = ∫[∇× B ] dS = 4π ∫ jdS.
L S c S
Прирівнявши підінтегральні вирази, отримуємо
∇ × B = 4π j; (СГС) (4.4.3)
c
∇ × B = μ 0 j. (СІ) (4.4.3’)
Формула (4.4.3) описує теорему про циркуляцію магнітного поля в локальній формі, оскільки B та j
визначені в одній і тій же макроскопічній точці.
4.5. Використання теореми про циркуляцію В для обчислення магнітного поля струму
Теорема про циркуляцію В у магнітостатиці виконує функцію, подібну до теореми Гауса в електростатиці, тобто використовується для розрахунку магнітних полів стаціонарних струмів та для
аналізу задач магнітостатики. Для знаходження магнітного поля обчислюється інтеграл ∫ B cos α dl по
контуру l, який проходить через задану точку та задовольняє умови
B, α = const, причому значення
α вважається відомим. Найчастіше вибраний контур збігається із силовою лінією, тобто
α = 0. В
інших випадках окремі частини контуру вибирають так, що
α = π 2, тобто внесок у циркуляцію тут
відсутній. Форму контуру для інтегрування вгадують, виходячи із симетрії розподілу провідників із струмом. Розглянемо декілька прикладів застосування цієї теореми.
Магнітне поле довгого циліндричного провідника із струмом
Радіус провідника R, струм однорідний густиною j, рис. 4.5.1. а. Поле шукаємо як функцію відстані r від осі провідника. Із симетрії задачі зрозуміло, що В залежить лише від r. Крім того, цей вектор перпендикулярний до r та до осі провідника. Отже, силова лінія має вигляд кола, яке проходить через задану точку, а центр її знаходиться на осі провідника. Інтегруючи вздовж силової
лінії, отримуємо ∫ Bdl = B 2π r. Зовні провідника струм крізь контур – це повний струм у провіднику
I = j π R 2, тому
|
cr
|
2π r
Всередині провідника силові лінії поля теж мають вигляд концентричних кіл і циркуляція В дорівнює
B 2π r = 4π j π r 2,
c
що дає
2π
|
B (r < R) = 0
j × r, (СГС) (4.5.2)
j × r. (СІ) (4.5.2’)
Всередині суцільного циліндричного провідника зі струмом магнітне поле зростає лінійно, а зовні спадає обернено пропорційно відстані від осі.
Розглянемо випадок, коли однорідний струм тече вздовж поверхні довгого порожнистого
циліндричного провідника. Інтегруючи по колу всередині порожнини, отримуємо нульовий
результат, оскільки контур не охоплює струму. Отже, всередині циліндричного порожнистого провідника з однорідним поверхневим струмом, який протікає вздовж осі, магнітне поле відсутнє. Зовні провідника поле збігається, як неважко переконатися, з полем, утвореним тим же струмом у суцільному циліндричному провіднику (4.5.1).
Поле тороїдальної котушки
На тор рівномірно намотано N витків проводу, по якому проходить струм І. Внутрішній та
зовнішній радіуси тора складають
R 1 та
R 2, відповідно, рис. 4.5.1. б. Необхідно знайти поле котушки.
Магнітна силова лінія, яка проходять через точку, що близько примикає до провідника, замикається навкруг нього. Зате поле на відстані, яка значно перевищує діаметр провідника, є результатом внесків од усіх N витків і його силові лінії пронизують площини цих витків. Ми шукатимемо поле саме в таких, достатньо віддалених од провідників точках. Із симетрії задачі зрозуміло, що вказані силові лінії мають вигляд концентричних кіл. Кругову поверхню, обмежену силовою лінією, N разів перетинає провідник зі струмом. Інтегруючи вздовж силової лінії, отримуємо
Bdl = 2π rB = 4π NI,
∫ c
тобто
B = 2 NI. (СГС) (4.5.3)
cr
μ NI
B = 0. (СІ) (4.5.3’)
2π r
Рис. 4.5.1. Обчислення магнітного поля з використанням теореми про циркуляцію:
а) циліндричний провідник із струмом; б) тороїдальна котушка.
Поле довгого соленоїда
Для знаходження поля ідеального, тобто безмежно довгого соленоїда використаємо розв’язок попередньої задачі, виконавши граничний перехід. Спершу з’ясуємо характер зміни магнітного поля
зі збільшенням радіуса тора. Збільшуючи середній радіус тора
R = (R 1+ R 2) 2, будемо залишати
незмінними лінійну густину витків
n = N
2π R
(домотуючи відповідну кількість їх) та їхній діаметр
d = R 2 − R 1. Якщо
R → ∞, то тороїдальна котушка переходить у безмежно довгий прямий соленоїд
діаметром d. Магнітне поле стає однорідним, оскільки різниця між його максимальним значенням
B 1 = 2 NI
cR 1
та мінімальним B 2 = 2 NI
cR 2
прямує до нуля.
Для з’ясування характеру поля зовні тороїдальної котушки, обчислимо поле в її геометричному
центрі. За умови r >> d
можна вважати, що магнітне поле створюється коловим струмом I радіуса r.
Тоді за формулою (4.3.1) поле в центрі дорівнює
B 0 = 2π I
cr, тобто прямує до нуля зі збільшенням
радіуса кривизни тора. Таким чином усередині безмежно довгого соленоїда існує однорідне магнітне поле
B = 4π nI, (СГС) (4.5.4)
c
B = μ 0 nI, (СІ) (4.5.4’)
де n – лінійна густина витків. Зовні соленоїда індукція поля дорівнює нулю.
4.6. Теорема Гауса для магнітного поля
Магнітний потік
Теорема Гауса для магнітного поля в інтегральній формі оперує поняттям потоку вектора індукції магнітного поля або просто магнітного потоку. З електростатики відомі поняття потоку вектора напруженості електричного поля та вектора зміщення. Вираз для магнітного потоку записується аналогічним способом
Φ = ∫ BdS = ∫ BdS cos α, (4.6.1)
де dS
та α
мають такий самий смисл, що і при визначенні потоку електричного поля.
В СІ одиницею магнітного потоку є вебер (Вб). З (4.6.1) видно, що 1Вб =1Тл⋅1м2. В СГС
одиницею магнітного потоку є максвелл (Мкс), тобто
1Мкс =1Гс ⋅1см2. Врахувавши зв’язок між
одиницею індукції магнітного поля та одиницею площі в обох системах, отримаємо 1 Вб ↔ 108 Mкс.
Магнітна теорема Гауса
Електрична теорема Гауса в інтегральній формі стверджує, що потік Е крізь замкнену поверхню пропорційний величині електричного заряду, що знаходиться всередині цієї поверхні. В локальному варіанті теореми стверджується, що дивергенція Е пропорційна об’ємній густині заряду. Якщо загальний заряд усередині поверхні додатний, то число силових ліній, що виходять із поверхні, перевищує число ліній, що туди входять. У випадку загального від’ємного заряду, навпаки, більше ліній входить у поверхню ніж виходить. Нарешті, якщо сумарний заряд всередині поверхні дорівнює нулеві, то число силових ліній, які входять у поверхню, дорівнює числу ліній, які звідти виходять, чи взагалі дорівнює нулю в разі відсутності зарядів.
Якщо порівняти ці властивості електростатичного поля із властивостями магнітного поля, то внаслідок відсутності магнітних зарядів (докладніше про це трохи нижче) лінії магнітного поля виявляються замкненими. Тому лінія В, що входить у поверхню, обов’язково де-небудь вийде з неї. В результаті потік В крізь замкнену поверхню, а також дивергенція В дорівнюють нулеві. Це твердження складає сутність теореми Гауса для магнітного поля, тобто
∫ BdS = 0, (4.6.2)
S
∇ B = 0. (4.6.3)
Рис. 4.6.1. До теореми Гауса для В.
Ці інтуїтивні міркування можна підтвердити прямим обчисленням. В визначається формулою для об’ємного струму (4.2.5), тобто
∇ B = 1 ∇ ∫
j × r dV.
c V r 3
Тут
dV – елемент об’єму, із якого витікає струм густиною j, рис. 4.6.1. Початок вектора r
знаходиться в елементі об’єму dV
і при інтегруванні оббігає весь об’єм, де існує струм. Кінець r
зафіксовано у шуканій точці поля А. Вираз, отриманий після інтегрування, є функцією лише радіус- вектора R точки А. Дивергенція визначається в околі R, тому операції інтегрування по об’єму провідника та дивергенції незалежні і можна поміняти порядок виконання їх. Використавши формулу
векторного аналізу
отримуємо
∇[ a × b ]= b [∇× a ]− a [∇× b ],
j × r
∫∇
⎛ r
|
[∇× j ]− j ⎡ ×
r ⎤ ⎞
⎥⎟ dV. (4.6.4)
V r' 3
V ⎝ r 3
⎣ r 3 ⎦ ⎠
Перший член у правій частині (4.6.4) дорівнює нулю, оскільки операція ротора береться в околі точки А, від координат якої j не залежить. Значення другого члена знаходимо безпосереднім обчисленням. Для х -компоненти маємо
⎛ r ⎞
∂ ⎛ z ⎞
∂ ⎛ y ⎞
3 zy
3 yz 0
rotx ⎜
⎝ r
3 ⎟ =
⎠
⎜
∂ y ⎝ r
3 ⎟ −
⎠
⎜
∂ z ⎝ r
3 ⎟ = − 4
⎠ r
+ r 4 =.
Для наступних двох компонент ротора теж отримуємо нульовий результат, що підтверджує справедливість формул (4.6.2) та (4.6.3).
Про магнітний заряд
Суттєва відмінність властивостей магнітного та електричного полів спричинена тим, що для
магнітного поля відсутні витоки, тобто
∇ B ≡ 0, тоді як дивергенція Е не дорівнює нулю в точках
розміщення електричного заряду,
∇ E = 4π k ρ. Рівність нулеві дивергенції В, таким чином, означає
відсутність магнітних зарядів. Треба визнати досить дивною ту обставину, що серед елементарних частинок існують заряджені електрично, проте відсутні магнітно заряджені. Звичайно, елементарні частинки є носіями також і магнітних властивостей, проте останні нагадують швидше електричний диполь – об'єкт із рознесеними електричними зарядами протилежних знаків. Постійний магніт, соленоїд чи магнітний спіновий момент елементарної частинки завжди мають два полюси – північний та південний, які ніяким способом не вдається розділити. Розламавши постійний магніт навпіл, ми отримаємо два теж двополюсних магніти лише меншого розміру. Магнітний момент елементарної частинки – магнітний спін теж еквівалентний магнітному диполю і взагалі є неподільним фундаментальним об’єктом. У природі досі не спостерігались ізольовані магнітні
полюси, скажімо, лише північний чи лише південний. Тим часом досить легко виділити частинки,
заряджені негативною (електрон) чи позитивною електрикою (протон,
α -частинка). Виникає
природне питання – чим магнітний заряд "гірший" від електричного? Виявляється, нічим – ще в
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 3428 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
