Методи синтезу неперервних систем керування

Задача синтезу, яка виникає при проектуваннi систем автоматичного керування, полягає у такому добору структурної схеми системи та технiчних засобiв її реалiзацiї, при якому забезпечуються заданi динамiчнi та експлуатаційні властивостi всiєї системи у цiлому. Синтез – це лише перший етап проектування та побудови системи. Наступними етапами синтезу є: вибiр конкретних елементiв системи, енергетичний та конструктивний розрахунок, поєднання характеристик тощо. У залежностi вiд вигляду початкових даних, якi приймаються при проектуваннi систем, до задачі синтезу можна пiдходити з рiзноманiтних точок зору. Якщо мається можливiсть достатньо повної свободи добору структури та параметрiв у межах фiзичної можливості i з урахуванням обмежень, то вирiшується задача синтезу оптимальних систем керування, якi повиннi давати найкращi властивостi системi згiдно деякого критерiю оптимальності (наприклад, найкраща швидкодiя, мiнiмальна похибка у перехідному процесi тощо).

Задачі синтезу можна розбити на двi групи. У задачах першої групи задаються тiльки об'єкт керування i треба визначити закон функцiонування управляючих засобiв у цiлому.

У задачах другої групи у поняття синтезу включається ще бiльш вузька задача: задача вибору та розрахунку параметрiв спецiальних корегуючих пристроїв, якi забезпечують заданi статичнi та динамічні характеристики системи. При цьому мається на увазi, що головнi функціональні елементи системи (виконавчi, пiдсилювальнi та вимiрювальнi пристрої) вiдомi згiдно технiчного завдання та які в цiлому з об'єктом керування складають незмiнну частину системи. Однак характеристики цих пристроїв можуть не вiдповiдати необхiдним. Тому виникає необхiднiсть введення у систему допомiжних елементiв, якi дозволяють покращити, скоректувати якiсть системи, звести їх до потрiбних.

У якостi критерію оптимізації, який використовується при синтезі систем для детермiнованого вхідного впливу у виглядi одиничної функцiї, береться мiнiмум часу перехiдного процесу за умови його монотонностi.

Критерiй оптимiзацiї при детермiнованих впливах можуть обиратися у виглядi функцiоналiв вiд похибки вигляду . Найпростішим з них є функцiонал .

При вирiшеннi задач збiльшення запасу стiйкостi перед усе необхідно рацiональним образом змiнити параметри системи таким чином, щоб задовольнити потрiбним показникам якостi керування. При неможливостi вирiшити цю задачу у рамках самої системи, треба змiнювати її структуру. Для цього у систему вводяться коректуючi пристрої.

Рис. 3.51 Методи включення корегуючи пристроїв

Цi корегуючi пристрої можуть вводитися у систему рiзноманiтним чином (Рис.3.52). Використання того чи iншого метода визначається можливостями технiчної реалiзацiї. Елементи послiдовного типу (Рис.3.52а) застосовуються у тому випадку, коли у системi управлiння використовується електричний сигнал у виглядi напруги постiйного струму, величина якого функцiонально пов'язана з сигналом похибки.

Рис. 3.52 Позначення корегуючи пристроїв

Коректуючи пристрої паралельного типу (Рис.3.52б) бажано застосовувати у тих випадках, коли необхiдно здiйснювати складний закон керування з введенням iнтегралiв та похiдних вiд сигналу похибки. Зворотнi зв'язки (Рис.3.52в) найбiльш зручнi для використання тому що ланки, якi охоплюються зворотними зв'язками, стають бiльш стабiльнi, зменшуються їх нелiнiйностi.

У лiнiйних системах динамічні властивостi повинні бути однаковими, i для корегуючих пристроїв одного типа можуть бути підібрані еквiвалентнi корегуючi пристрої другого типу. Для цього необхiдно, щоб виконувалися умови

(3.43)

Звідки

Таким чином, якщо вiдомi основнi елементи системи, якi визначають передаточну функцiю початкової нескоригованої системи W_пс(s), то задача синтезу зводиться до визначення структури корегуючих ланок та вибору їх параметрiв, тобто до синтезу корегуючих пристроїв.

Синтез корегуючих пристроїв засновано на зв'язку перехiдної функцiї з дійсною частотною характеристикою РЧХ замкненої системи та полягає у максимальному наближенню передаточної функцiї i проектованої системи до бажаної W_Б(s), яка вiдповiдає потрібним показникам якостi системи.

3.3.2Побудова бажаної логарифмічної характеристики.

Найбiльш практичним iнженерним методом синтезу САУ є метод логарифмічних амплiтудних частотних характеристик, який заснований на взаємозв'язку перехiдних та частотних характеристик. Цей метод дозволяє достатньо швидко побудувати бажану ЛАХ розiмкненої системи i по ЖЛАХ знайти передаточну функцiю W_Б(s) та розрахувати її параметри.

При синтезi САУ методом ЛАХ у початкових даних звичайно задають такi показники якостi:

- час перехiдного процесу t_пп,

- максимально доступне перерегулюваня при одиничному ступінчатому впливi, або запаси стiйкостi за фазою та амплiтудою ,

- коефiцiєнти динамiчної похибки або точнiсть відпрацювання типових вхiдних впливiв.

По заданим показникам якостi можна вибрати вiдповiдну типову дійсну частотну характеристику замкненої системи.

На основi попереднiх розрахункiв перехiдних процесiв встановлено, що для забезпечення задовiльних показникiв якостi (дійсної частотної характеристики) повинна мати певнi коефiцiєнти форми. Із прямокутної трапецоїдної з одним i тим же iнтервалом додатностi найменший час регулювання при незначному перерегулюваннi вiдповiдає коефіцієнт похилу

Рис. 3.53 Рис. 3.54

При цьому похил ЛАХ при частотi зрiзу w_зр=(0,6 0,9)w_п наближається до -20 дб/дек.

Така ЛАХ може бути прийнята за оптимальну. Однак у реальної системи реалiзацiя у виглядi простої трапецiї може бути досягнута тiльки за рахунок складних корегуючих пристроїв.

Значно простiше можна реалiзувати ДЧХ, яку показано на Рис.3.55, та яка забезпечує придатнi показники якостi.

Рис. 3.55 Типова дійсна частотна характеристика

Такий вигляд характеризується такими параметрами:

коефіцієнт похилу:

коефіцієнт допомiжного похилу:

коефіцієнт форми:

P_max(w), P_min(w) – максимальне та мiнiмальне значення .

Найліпші перехiднi процеси вiдповiдають з коефiцiєнтами

При цьому величина перерегулювання залежить вiд P_max>0 (Рис.3.56). .

Якщо має мiнiмум Р_min<0, то з'являється додаткове перерегулювання

.

Рис. 3.57 Номограма прямих показників якості з

Отже, загальне перерегулювання буде , де (3.44)

Якщо розглядати оптимальний за швидкодiєю перехiдний процес, який завершується протягом мiнiмального часу tппmin при (Рис.3.58).

Рис. 3.58 Оптимальний перехідний процес

На першій дiлянцi виконується розгін системи з максимальною швидкодiєю, яка вiдповiдає максимально допустимому прискоренню . При цьому регульована величина змiнюється по закону .

На другій ділянці здiйснюється гальмування з максимальним уповiльненням.

При цьому .

З цього спiввiдношення можна визначити .

Для нашої системи ЛАХ буде мати вигляд (Рис.3.59) з похилом на вiдносних частотах де у -20 дб/дек, а при похил швидко збiльшується.

Рис. 3.59 Логарифмічні характеристики квазіоптимальної системи

Частота зрiзу системи оптимальною за швидкодiєю дорiвнює а .

Тому що передаточну функцiю, яка забезпечує системi максимальну швидкодiю, простими технiчними засобами важко реалiзувати, то доцiльно будувати системи у яких перехiдний процес не повинен виходити за межi деякої границі t_{пп max} що допускає два послiдовних перерегулювання перехiдного процесу.

Таким чином, реальна частота зрiзу лежить в межах .

Із порiвняння кривих перехiдних процесiв, якi вiдповiдають типової дійсної частотної характеристики встановлено, що час регулювання t_пп залежить вiд частоти w_п, у деякої степенi вiд P_max та практично не залежить вiд вигляду модуля частотної характеристики у областi частот w>w_п.

Крива залежностi

(3.45)

зображена на Рис.3.7

Отже, якщо задано tпп, то використовуючи кривi Рис.3.58, можна визначити

та розрахувати w_зр=(0,6-0,9)w_п. Якщо задано обмеження по прискоренню, то . При цьому слiд пам'ятати що чим бiльше w_зр,тим бiльш швидкодiя буде у системi, але при цьому треба буде застосовувати i бiльш складнi корегуючи пристрої.

Побудова низькочастотної областi бажаної ЛАХ проводиться виходячи iз заданих вимог до забезпечення точностi САУ. При цьому коефiцiєнт пiдсилювання бажаної розiмкненої передаточної функцiї розраховується вiдносно заданого типового впливу та максимального значення похибки , де g_о – задаючий вплив, - похибка САУ. Якщо задана величина похибки вiд швидкості, то система повинна отримати астатичнi властивостi, що досягається вiдповiдним похилом ЛАХ у областi нижнiх частот.

При цьому низькочастотну асимптоту ЛАХ проводиться через точку L(w=1)=20lgK_рж з вiдповiдним похилом (-20 дб/дек), де – порядок астатизму.

Якщо задана добротнiсть системи по швидкостi, то через точку w=K_рБ проводиться пряма з похилом -20 дб/дек.

Рис. 3.60 Синтезована ЛАЧХ

На осi абсцис w вiдмiчають точку, яка вiдповiдає значенню частоти зрiзу w_зр, i через неї проводиться пряма з похилом -20 дб/дек. Це робиться для того, щоб забезпечити прийнятий перехiдний процес. Ця пряма буде визначати середньочастотну асимптоту бажаної ЛАХ (Рис.3.60).

Для сполучення низькочастотної дiлянки з средньочастотною треба керуватися вимогами до показникiв якостi САУ, якi визначають вимоги до запасiв стiйкостi по амплітуді та фазi.

Так, якщо треба забезпечити , то для цього вiдповiдно ординати типової не повиннi перевищувати P_max=1,2, P_min=-0,2, тобто P_max ³ P_з(w) ³ –P_min

Це вiдповiдає вимогам, щоб ЛАФЧХ не заходила у заборонену область, яка обмежується кривими з iндексами P_max, P_min (Рис.3.61)

Рис. 3.61 Номограма для визначення запасів стійкості по ЛАФЧХ

Кривi iз значеннями P_max, P_min можна приблизно замiнити прямокутником з параметрами , , та , де , – зaпаси стiйкостi по амплiтудi, – запас стiйкостi по фазi. При цьому повиннi забезпечуватися вимоги

Існують допомiжнi кривi та (Рис.3.63), якi дозволяють визначити бажанi значення запасiв стiйкостi по амплiтудi та фазi

Рис. 3.63 Номограма зв’язку запасів стійкості з

Сполучення середньочастотної дiлянки з низькочастотною асимптотою проводять виходячи iз наступних мiркувань:

- сполука проводиться одним вiдрiзком з похилом кратним -20 дб/дек,

- сполука проводиться так, щоб у iнтервалi часом вiд wL₁ до w_зр запас стiйкостi по фазi був не менший заданого, тобто .

Високочастотна дiлянка ЛАХ, тому що вона лежить в областi малих параметрiв, практично не впливає на стiйкiсть i на показники якостi, треба проводити з похилом кратним -20 дб/дек, що забезпечує швидке пригнiчування високочастотних завад. Однак при цьому слiдує слiдкувати за правильним вибором точки сполуки w_з, яка забезпечує заданий запас стiйкостi у област w_зр £ w £ wL₂ = w_з При цьому достатньо виконати перевiрку на частотi wL₂

Треба визначити, що цi вимоги виконуються, якщо частота сполуки w_з буде перевищувати 4w_з w_з ³ 4w_зp.