Корекція нелінійних систем керування. Лінійна корекція нелінійних систем

Розглянемо систему з однією непарносиметричною нелінійністю F(x) гармонічну лінеаризацію якої можна визначити як F(x)=q(A)x.

При цьому, у залежності від виду нелінійності використовуються умови

0 £ q(A) £ q_max або q_н £ q(A) £ q_max

Представимо коефіцієнт гармонічної лінеаризації у вигляді q(A)=Kq₀(A),. де K -коефіцієнт підсилювання, q₀(A)- нормований коефіцієнт лінеаризації

Так, для підсилювача з насиченням (Рис.3.69)

Рис. 3.69 Статична характеристика підсилювача з насиченням

для релейної нелінійності (Рис.3.70).

Рис. 3.70 Статична характеристика релейної нелінійності

Введемо у поняття приведену передаточну функцію лінійної частини системи як

де K -коефіцієнт підсилювання, перенесений із нелінійності.

При цьому лінійна корекція може бути виконана за наступною схемою.

1. Будується логарифмічна характеристика L_п(w) початкової приведеної лінійної системи W_пл(s)

L_п(w)=20lg|W_пл(jw)|

2. Формується бажана логарифмічна характеристика у відповідності до вимог точності та якості процесів методами теорії лінійних систем.

3. Синтезується лінійний корегуючий пристрій.

4. Визначається фазова частотна характеристика здобутої скоригованої системи.

5. Для даної нелінійності з використанням нормованого коефіцієнта q₀(A) формується " заборонена " зона, яка відповідає бажаному показнику коливальності М, та перевіряються умови, при яких фазова характеристика не повинна заходити у заборонену область.

Розглянемо методику побудови забороненої зони, яка забезпечує у системі заданий показник коливальності.

Нехай маємо систему, яка складається із лінійної частини W_л(p) та нелінійної ланки F(x,px) (Рис.3.71).

Рис. 3.72 Типова структурна схема нелінійної системи

Тоді, у силу гармонічної лінеаризації можна здобути комплексний коефіцієнт замкненої лінеаризованої системи

де

Представимо W_л(jw) у вигляді , а відповідно

По аналогії з лінійними системами, показник коливальності нелінійної системи визначається як

|

Геометричне місце M=const для нелінійної системи у площині U та jV можна визначити за виразом

(3.46)

який може бути зведений до рівняння зміщеного кола з центром у точках (U₀,V₀) та радіусом R.

Однак, у силу залежностей для M=const можна побудувати сукупність коло, а геометричне місце точок – як обвідна неперервної множини поступово змінюваних кіл (Рис.3.73).

Рис. 3.73 До визначення M=const при різних значеннях амплітуд коливань

У випадку однозначних непарно-симетричних нелінійностей параметри кола визначаються за виразом

Рис. 3.74 До визначення амплітуди коливань по заданому значенню М

Заборонені зони для W_л(jw) у комплексній площині можуть бути перенесені на логарифмічні характеристики для фазової характеристики лінійної частини .

Рис. 3.75 Заборонена зона для W_л(jw) наЛАЧХ

При заборонена зона вироджується у лінію. Z(jA)=1/W_л(jA), яка використовується для визначення автоколивань за допомогою критерію Найквіста.

Для лінійних систем значенню відповідає точка (-1,j0), тоді як у нелінійних системах еквівалентом точки (-1,j0) є лінія -Z(A). Таким чином, перетинання цієї лінії амплітудно-частотною характеристикою визначає точку можливих періодичних режимів. Якщо ж W(jw) не охоплює і не перетинає характеристику -Z(jA), то це позначає, що у системі спостерігається спадний процес, якість якого оцінюється по забороненим зонам з M=const (Рис. 3.76).

Рис. 3.76 Лініїрівнихзначень показника коливальності

Найбільшу складність при синтезі корегуючих пристроїв складає визначення бажаної логарифмічної амплітудної характеристики. При синтезі лінійних систем характерними типами L_б(w) є характеристики типу

Рис. 3.77 Типові ЛАЧХ

Ці ж типи L_б(w) можуть використовуватися і для лінійного синтезу нелінійних систем.

Нехай у якості бажаної L_б(w) вибрано характеристику типу B. Відомо, що для забезпечення потрібного запасу по фазі повинно забезпечуватися досягнення достатньої довжини середньочастотного діапазону, в якому лежить частота зрізу .

Побудуємо нормовану логарифмічну характеристику типа B, вибрав у якості нормованої величини точку перетину осі частот з продовженням лінії сполуки низькочастотного діапазону з середньочастотним (рис.3.78).

Рис. 3.78

Довжина ділянки з похилом -20 дб/дек

Довжина ділянки з похилом -40 дб/дек

Тоді можна записати

або

що дає

,

відкіля запас по фазі, який відповідає бажаної логарифмічної амплітудної характеристики, буде

При достатній довжині ділянок h та h₁ для частот, наближених до частоти зрізу, різниця

буде величиною порівняно малою. Тому, для визначення довжини ділянки h можна використати наближене співвідношення

Досліджуючи цей вираз на максимум, будемо мати ,

що дає можливість визначии максимальний запас по фазі, який забезпечується за рахунок довжини ділянки h (Рис.3.78).

Максимальне значення запасу по фазі буде при .

Рис. 3.78

Тоді, порівнявши тангенси для , здобудемо

Відкіля

(3.47)