Квадратурні формули з рівновіддаленими вузлами: формула Ньютона

Пусть имеем функцию f(x), заданную в равноотстоящих точкая xi отрезка [a,b], с помощью значений yi=f(xi). Для нахождения производных y'(x)=f'(x), y''(x)=f''(x) и т.д., функцию y приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов x0, x1,..., xk(k≤n).

Имеем

,

где , h=xi+1-xi.

Производя перемножение биномов, получим:

.

Так как , то

.

Аналогично, так как .

.

Таким же способом в случае необходимости можно найти производные любого порядка. Заметим, что при нахождении производных в фиксированной точке x в качестве x0 следует выбирать ближайшее табличное значение аргумента. Иногда требуется находить производные функции y в основных табличных точках, т.е. в узлах . В этом случае формулы численного дифференцирования упрощаются. Так как каждое табличное значение можно считать за начальное, то положим x=x0, получаем q=0. Тогда будем иметь:

.

.

Если Pn(x) - интерполяционный полином Ньютона, содержащий конечные разности до n - го порядка включительно, то его погрешность выражается формулой:

.

Находим погрешность формулы:

.

Полагая в (5.9) x=x0 и учитывая, что q=0 и , будем иметь

.

Так как , то

.