Поліноми Ньютона. Залишковий член формули Ньютона. Точність інтерполяції

Інтерполяційний поліном Ньютона

Нехайf(x) - функція; (0)

- поділена різниця; (1)

- друга поділена різниця; (2)

f(x) = f(x0) + (x - x0) f(x, x0);

f(x, x0) = f(x0, x1) + (x - x1) f(x, x0, x1);

f(x) = f(x0) + (x - x0) f(x0, x1) + (x - x0) (x - x1) f(x, x0, x1);

Аналогічно:

f(x) = f(x0) + (x - x0) f(x0, x1) + (x - x0) (x - x1) f(x, x0, x1) + (x - x0) (x - x1) (x - x2) f(x, x0, x1, x2);

…

f(x) = f(x0) + (x - x0) f(x0, x1) + (x - x0) (x - x1) f(x0, x1, x2) + (x - x0) (x - x1) (x - x2) f(x0, x1, x2, x3) + … + (x - x0) (x - x1)… (x - xn-1) f(x0, x1,…, xn) + (x - x0) (x - x1)… (x - xn) f(x, x0,…, xn),(3)

причому підкреслена частина є деяким поліномом n-го порядку:

f(x0) + (x - x0) f(x0, x1) + (x - x0) (x - x1) f(x0, x1, x2) + (x - x0) (x - x1) (x - x2) f(x0, x1, x2, x3) + (x - x0) (x - x1)… (x - xn-1) f(x0, x1,…, xn) = Pn(x).

Якщо x = x0, x1, …, xn, то f(xi) = Pn(xi) = yi, тому що (x - x0) … (x - xn) f(x, x0, …, xn) = 0!

Права частина виразу (3) і є інтерполяційним поліномом Ньютона.

Якщо x0 < x1 < … < xn, то це – формула інтерполяції вперед, якщо навпаки –назад.

Точність інтерполяції

График интерполяционного полинома у =  (х) проходит через заданные точки, т. е., значения полинома  (х) и данной функции у =  (х) совпадают в узлах х = хi (i = , ,..,. n). Если функция  (х) сама является полиномом степени n, то имеет место тождественное равенство  (х) =  (х). В общем случае в точках, отличных от узлов интерполяции

R(x) =  (х) -  (х).

Эта разность и есть погрешность интерполяции, и называется остаточным членом интерполяционной формулы. Оценим его значение.

Предположим, что заданные числа yi являются значениями некоторой функции y =  (х) в точках х = хi. Пусть эта функция непрерывна и имеет непрерывные производные до n + 1 порядка включительно. Можно показать, что в этом случае остаточный член интерполяционного полинома Лагранжа имеет вид:

RL (x) =  (n+)()

где  (n+) () - производная (n+)-го порядка функции  (х) в некоторой точке х = ,   [x, xn]. Если максимальное значение этой производной равно:

Mn +  =   (n+) (x),

то можно записать формулу для оценки остаточного члена интерполяционного полинома Лагранжа

 RL (x) Mn+

(17)

Остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона можно записать в виде:

RP (x) =  (n+) () h n + , . (18)

Остаточный член второй интерполяционной формулы Ньютона:

RP (x) =  (n+) () h n + , . (19)

Если предположить, что разности  n + уn почти постоянны для функции y = f(x) и h достаточно мало, и учитывая, что

 (n+) (х) = ,

приближенно можно положить:

 (n+) ()  .

В этом случае можно записать следующую формулу остаточного члена первой интерполяционной формулы Ньютона:

RP (x)   n+у.

Формула остаточного члена второй интерполяционной формулы Ньютона имеет вид:

RP (x)   n+уn.