Поняття точних методів розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гауса: схема єдиного ділення

Запишемо систему (1) у розгорнутому вигляді:

а11x1+a12x2+...+a1mxm=f1,

a21x1+a22x2+...+a2mxm =f2,

........................................................

am1x1+am2x2+...+ammxm =fm.

Метод Гаусса розв’язання системи полягає у послідовному вилученні невідомих x1, x2,..., xm-1 з цієї системи. Припустимо, що a11 0. Поділимо перше рівняння на a11, одержимо

x1+c12x2 +...+c1m xm =y1, де: c1j=a1j /a11; j=2,m; y1=f1/a11.

Розглянемо тепер рівняння системи, що залишилися:

ai1x1+ai2x2+...+aimxm=fi; i= 2,m

Помножимо на ai1 та віднімемо одержане рівняння з і-го рівняння системи (4), i=2,m.

У результаті одержимо наступну систему рівнянь:

x1+c12x2+...+c1jxj+...+c1mxm =y1,

a22x2+... +a2jxj+...+a2mxm=f2,

am2x2+...+amjxj+...+ammxm=fm.

Tут позначено:

aij=aij-c1jai1; fi=fi -y1ai1; i,j=2,m.

Матриця системи (5) має вигляд:

.

Матриці такої стуктури заведено позначати так:

Тим самим ми здійснили перший крок методу Гаусса. Коли , то з системи (7) зовсім аналогічно можна вилучити невідоме x2 і прийти до системи, еквівалентній (2),що має матрицю такої структури:

При цьому перше рівняння системи (5) залишається без зміни.

Вилучая таким же чином невідомі х 3, х4,...,x m-1, приходимо остаточно до системи рівнянь виду:

x1 +c12x2 +...+c1,m-1xm-1+c1mxm =y1,

x2 +...+c2,m-1xm-1+c2mxm =y2,

.....................................................................

xm-1+cm-1,mxm=ym-1,

xm=ym,