Пряма і обернена задачі теорії похибок

Під похибкою будемо розуміти величину, що характеризує точність результату. Похибки, що виникають при розв’язуванні задачі, можна поділити на три групи:

1. неусувна похибка

2. похибка методу

3. похибка обчислень

Основна задача теорії похибок – знаходження області невизначеності результату. Розглянемо процес заокруглення чисел. Якщо число x=4,167493 і його потрібно заокруглити до п’яти десяткових знаків після коми, то будемо мати x*=4,16749. Тобто, якщо старший розряд, що відкидається менше 5, то попередня цифра не змінюється. Якщо x=4,167493 потрібно заокруглити до чотирьох знаків після коми, то x*=4,1675. Тобто, якщо старший розряд, що відкидається дорівнює, або більше 5, то попередня цифра в числі збільшується на 1. Під помилкою чи похибкою Da наближеного числа a загалом розуміють різницю між відповідним точним числом та даним наближеним числом: Da = A – a Якщо A > a, то Da > 0, якщо A < a, то Da < 0. У багатьох випадках знак помилки невідомий, тому вводиться поняття абсолютної похибки та граничної абсолютної похибки. Абсолютною похибкою D наближеного числа a називається абсолютна величина різниці між відповідним точним числом A та числом a: D = |A - a|. Граничною абсолютною похибкою Da наближеного числа називається число, не менше абсолютної похибки цього числа. Таким чином, якщо Da - гранична абсолютна похибка наближеного числа a, яке замінює точне A, то D = |A - a| £ Da. Обернена задача теорії похибок полягає в наступному: з якою точністю потрібно задати значення аргументів функція , щоб похибка значення функції не перевищувала заданої величини ε.

Для функції однієї змінної y=f(x) абсолютну похибку можна наближено обчислити за формулою

. Для функції декількох змінних задача розв’язується за допомогою наступних рекомендацій:

а)Принцип рівних впливів, тобто вважаємо, що всі доданки рівні між собою. Тоді абсолютні похибки всіх аргументів визначаються формулою

; б)Вважаємо всі похибки рівними, причому максимально можливими, тобто покладемо

, де .